次のように、奇数が並んでいます。
１、３、５、７、９、１１、１３、・・・
初めからＡ番目までの和を＜Ａ＞で表すことにします。例えば＜３＞＝１＋３＋５＝９です。このとき、次の問いに答えなさい。
(１)
＜６＞の値を求めなさい。
(２)
＜９＞－＜７＞の値を求めなさい。
(３)
＜１３＞－＜☆＞＝＜５＞が成り立つとき、☆にあてはまる数を求めなさい。
(４)
＜◎＞＋＜◎＞＋＜◎＞＋＜◎＞＝＜△＞が成り立つとき、◎と△の比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
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(１)
素直に１から１１までの奇数を足していけば答えは求められるのですが、
・２番目の奇数までの和→１＋３＝２×２＝４
・３番目の奇数までの和→１＋３＋５＝３×３＝９
・４番目の奇数までの和→１＋３＋５＋７＝４×４＝１６
のように、１から□番目の奇数までの和は「□×□」を計算すれば求められるので、６番目までの奇数の和は６×６＝３６となります。
(２)
１から９番目までの奇数の和は９×９＝８１、そして１から７番目までの奇数の和は７×７＝４９なので、＜９＞－＜７＞の答えは８１－４９＝３２になります。
【補足】
「１から９番目までの奇数の和」から「１から７番目までの奇数の和」を引くと、次の図のように８番目と９番目の奇数だけが残るので、１５＋１７＝３２と求めてもＯＫです。
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(３)
＜１３＞の答えは１３×１３＝１６９、＜５＞の答えは５×５＝２５なので、その差は１６９－２５＝１４４です。
＜☆＞＝１４４＝１２×１２なので、☆には１２があてはまります。
(４)
仮に◎＝３とすると、＜３＞は「１番目から３番目までの奇数の和」を表しています。
１番目の奇数は１、２番目の奇数は３、３番目の奇数は５なので、次の図のように青い○を１個、黄色い○を３個、緑色の○を５個並べてみると、全体は１辺が３個の正方形となり、○の総数は「３×３」を計算すれば求められます。
また、＜３＞＋＜３＞＋＜３＞＋＜３＞を図に表すには、次のように１辺３個の正方形を田の字型に４つ並べればＯＫです。
１辺３個の正方形を４つ並べると、全体は１辺が３×２＝６個の正方形になるので、○の総数は「６×６」を計算すれば求められます。
つまり、◎＝３のとき、
・＜◎＞＝３×３
・＜◎＞＋＜◎＞＋＜◎＞＋＜◎＞＝＜△＞＝６×６
となるので、△には６があてはまります。
したがって、◎と△の比は３：６＝１：２になります。
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