Ａ、Ｂの容器にそれぞれ５００ｇずつの食塩水が入っています。次の各問いに答えなさい。なお、答えの求め方も説明しなさい。
(１)
ＡからＢに２００ｇ移してよくかき混ぜ、次にＢからＡに２００ｇ移しました。Ａは最初５％の食塩水でしたが、７％になりました。Ｂは最初何％の食塩水でしたか。
(２)
(１)の後、Ａから何ｇかをＢに移し、同じ量をＡにもどしたとき、Ａは７.５％の食塩水になりました。何ｇ移しましたか。
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(１)
まずは図を使って、ＡとＢの間でどのようなやり取りが行われたのかを確認してみます。
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【図１ 最初の状態】
最初は容器Ａに濃さ７％の食塩水が５００ｇ、容器Ｂには濃さ□％の食塩水が５００ｇ入っています。
この問題で求めたいのはこの□％にあてはまる濃度です。
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【図２ ＡからＢへ食塩水を移す】
まずは図２のように容器Ａから食塩水を２００ｇ取り出し、それを容器Ｂへと移します。
このとき、容器Ａには５％の食塩水が５００－２００＝３００ｇ残り、容器Ｂの食塩水は２００＋５００＝７００ｇになります。
【図３ 容器Ｂの食塩水の濃度が変わった】
容器Ａから来た濃さ５％の食塩水２００ｇと、もともと容器Ｂに入っていた食塩水５００ｇをクルクルとかき混ぜた結果、容器Ｂの食塩水の濃度は□％から△％へと変化しました。
とはいっても、それが果たして濃くなったのか薄くなったのかも今のところは分かっていません。
【図４ ＢからＡへ食塩水を移す】
今度は容器Ｂから濃さ△％の食塩水２００ｇを容器Ａへ移します。
このとき、容器Ｂには濃さ△％の食塩水が７００－２００＝５００ｇ残り、容器Ａは食塩水の量が３００＋２００＝５００ｇになります。
【図５ 容器Ａの濃さが変わった】
下の図の容器Ａでは、もともとＡに残っていた濃さ５％の食塩水３００ｇと、Ｂから来た濃さ△ｇの食塩水２００ｇが混ざった結果、濃さ７％の食塩水ができました。
ここまでの流れを振り返ってみると、「図２→図３」と「図４→図５」のときに食塩水の濃度が変わっているので、それぞれの場面を天びん図で表して□％や△％にあてはまる数を求めてみます。
【その１ △％にあてはまる数を求める】
さっきの図４から図５への流れを天びん図に表すと、支点の左側にはＡに残っていた濃度７％・重さ３００ｇの食塩水、右側にはＢから来た濃度△％・重さ２００ｇの食塩水、そして支点の上には２つを混ぜた後の濃度である７％を次のように書き込みます。
このとき、左右の重さの比は左：右＝３００ｇ：２００ｇ＝３：２なので、うでの長さの比は左：右＝２：３になります。
※ 重さの逆比は長さの比。
つまり、上の図の７－５＝２％が青い比の②にあたるので、比の①は１％、そして比の③は３％になります。
上の図の△％は７％から右へ３％進んだ地点にあるので、７＋３＝１０％になります。
【その２ □％にあてはまる数を求める】
さっきの天びん図で求めた１０％は、図２から図３で「容器Ａから来た濃さ５％・重さ２００ｇの食塩水」と「容器Ｂに入っていた濃さ□％・重さ５００ｇの食塩水」を混ぜたときの濃度です。
そのときの様子を天びん図に表すと、次の図のようになります。
上の図の重さの比は左：右＝２００ｇ：５００ｇ＝２：５なので、長さの比は左：右＝５：２になります。
青い比の⑤が１０－５＝５％にあたるので、比の①は１％、そして比の②は２％です。
図の□％は１０％から右へ２％進んだ地点にあるので、答えは１０＋２＝１２％になります。
(２)
この問題はいきなり天びん図を使おうとするとむしろややこしくなるので、途中までは「食塩水全体×濃度＝食塩水の量」という公式をうまく利用して問題を解いてみます。
容器ＡとＢとの間で食塩水をやり取りする前は、次の図のようにＡには濃さ７％の食塩水が５００ｇ、Ｂには濃さ１０％の食塩水が５００ｇ入っています。
このとき、それぞれの容器に含まれる食塩の量を求めてみると・・・
・容器Ａ→５００×０.０７＝３５ｇ
・容器Ｂ→５００×０.１＝５０ｇ
となっています。
次に容器ＡとＢとの間で食塩水をやり取りした後の状態を確認しておくと、下の図のようにＡには濃さ７.５％の食塩水が５００ｇ、Ｂには濃さ□％の食塩水が５００ｇ入っています。
このとき、容器Ａに含まれる食塩の量は５００×０.０７５＝３７.５ｇとなり、やり取りする前より３７.５－３５＝２.５ｇ増えました。
※ したがって、Ｂの食塩水はＡより濃いことが分かります。
また、容器Ｂに含まれる食塩の量はさっきよりも２.５ｇ減ったはずなので、５０－２.５＝４７.５ｇになります。
つまり、容器ＡとＢとの間で食塩水をやり取りした後のＢは、食塩水５００ｇの中に食塩が４７.５ｇふくまれていることが分かるので、その濃度は４７.５÷５００×１００＝９.５％になります。
ここでＡとＢとの間で行われたやり取りの流れを振り返っておくと・・・
① 容器ＡからＢへ濃さ７％の食塩水を□ｇ移してよくかき混ぜた
② 容器Ｂの食塩水の濃度は９.５％になった
③ 容器ＢからＡへ濃さ９.５％の食塩水を□ｇ移してよくかき混ぜた
④ 容器Ａの食塩水の濃度は７.５％になった
という感じです。
このとき、最後に容器ＢからＡへ濃さ９.５％の食塩水□ｇを移した場面を図に表してみると次のようになります。
この図を見れば分かるように、容器Ａでは「もともとＡに入っていた濃さ７％・重さ△ｇの食塩水」と「Ｂから来た濃さ９.５％・重さ□ｇの食塩水」が混ざった結果、濃さ７.５％の食塩水ができました。
その場面を次のような天びん図に表せば、やり取りした食塩水の量である□ｇを求めることができるはずです。
上の図の支点の左側は７.５－７＝０.５％、右側は９.５－７.５＝２％なので、長さの比は左：右＝０.５％：２％＝１：４になります。
したがって重さの比は左：右＝４：１になるのですが、この問題で求めたいのは容器ＡとＢとの間でやり取りした食塩水の量である□ｇなので、答えは５００×(５分の１)＝１００ｇになります(比例配分)。
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