次の図は立方体の展開図です。アとイは立方体の頂点、ウ、エ、オは辺のまん中の点です。組み立てた立方体のアからオの点のうち３点を選び、その３点を通る平面で立方体を切ったときの切り口を考えます。(例えば、アとイとオを選ぶと切り口は長方形になります)
ただし、３点がちょうど立方体の１つの面上にあるとき(例えばイとエとオを選んだとき)は考えないことにします。
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このとき、切り口が次の図形になるような３点の選び方をすべて答えなさい。考えるときに次の見取り図を使ってもよいです。解答らんは余分にあります。
(１) 「アとイとオ」以外で、切り口が長方形になる３点の選び方。
(２) 切り口が台形になる３点の選び方。
(３) 切り口が五角形になる３点の選び方。
【解答らん】
(１) [ と と ]・[ と と ]・[ と と ]
(２) [ と と ]・[ と と ]・[ と と ]
(３) [ と と ]・[ と と ]・[ と と ]
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(１)
たとえば下の図のように、左下の辺イカから辺キアに向けてナイフでスパッと切ると、切断面は長方形アカイキになります。
このとき、切断面には青い３点ア・イ・オがふくまれていますが、その組み合わせは問題文に例としてすでに書かれています。
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【切断面が長方形になる場合 その１】
下の図のように、正面の辺イクから辺ケアに向けてナイフでスパッと切ると、切断面は長方形ケイクアになります。
このとき、切断面には青い３点ア・イ・エがふくまれています。
【切断面が長方形になる場合 その２】
下の図のように、正面の辺イクから辺ウコに向けてナイフでスパッと切ると、切断面は長方形ウイクコになります。
このとき、切断面には青い３点イ・ウ・エがふくまれています。
問題文の例で取り上げられた組み合わせ以外で切断面が長方形になるのはこの２通りなので、答えは「アとイとエ」、「イとウとエ」になります。
(２)
切断面を台形にするためには、ナイフを切れ入れる辺と突き抜ける辺の長さが異なる必要があります。
そこで次の図のように、短い辺ウオから右手前の長い辺アクに向けてナイフでスパッと切ると、その切断面は等脚台形ウオクアになります。
台形はこの１つしかできない(辺エオから上へ切断した場合は青い点が２つしかふくまれない)ので、答えは「アとウとオ」になります。
(３)
切断面が五角形になる場合は、次のように２通りあります。
【切断面が五角形になる場合 その１】
下の図のように、底面の辺エオから点アに向けてスパッと切断すると、赤い点サとシを通過して五角形アサオエシができます。
このとき、切断面には青い３点ア・エ・オがふくまれています。
ちなみに上の図の赤い点サとシは、どちらも辺の中点ウよりも少し低い位置にあります。
もし切断面がアと中点ウを通る場合は、次の図のように切断面が五角形ではなくひし形になります。
【切断面が五角形になる場合 その２】
下の図のように、正面の点エから後ろ側の辺ウアに向けてスパッと切断すると、赤い点スとセを通過して五角形エセアウスができます。
このとき、切断面には青い３点ア・ウ・エがふくまれています。
以上から、切断面が五角形になる場合の３点の組み合わせは、「アとエとオ」と「アとウとエ」の２通りになります。
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