気まぐれ解説カフェ(仮)

１マス２㎝の方眼用紙に次の図の斜線部分のような図形をかきました。この図形をＡＢを軸として回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。ただし、底面が合同で高さが等しい円柱と円すいの体積の比は３：１です。また、円周率は３.１４とします。
 
※　画像はクリックすると拡大します。















※　続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック！

 

次の図のように、軸ＡＢの右側をア・イ・ウの３か所に分け、ＡＢを回転させたときにそれぞれの立体の体積が何㎤になるのかを求め、最後にそれを足せばＯＫです。
 
結論を先に言うと、
 
・アを１回転→円すい台(プリンみたいな形)ができる
・イを１回転→小さな円柱ができる
・ウを１回転→大きな円柱から中くらいの円柱をくり抜いたドーナツみたいな立体ができる
 
となるのですが、途中で計算の工夫をしないとちょっと面倒なことになります。
 
※　画像はすべて、クリックすると拡大します。















【アを１回転させたときにできる立体の体積】
 
次の図のエとアを１回転させたときにできる円すいの体積から、エを１回転させたときにできる円すいの体積を引けば、アを１回転させたときにできる立体の体積が求められます。
 
また、図のＣＤＥ、ＦＧＣ、ＦＨＥの３つは内角の関係から相似で、ＣＤＥは１辺２㎝の直角二等辺三角形なので、ＦＧＣは１辺が１＋２＝３㎝の直角二等辺三角形、そしてＦＨＥは１辺が１＋２＋２＝５㎝の直角二等辺三角形になっています。















次の図のように軸ＡＢを１回転させると、エは底面の半径と高さがどちらも３㎝の円すい、そして「エとアを合わせた形」は底面の半径と高さがどちらも５㎝の円すいになります。
 
底面の半径と高さがどちらも３㎝の円すいの体積は３×３×３.１４×３÷３＝９×３.１４、そして底面の半径と高さがどちらも５㎝の円すいの体積は５×５×３.１４×５÷３＝３分の１２５×３.１４です。
 
したがって、アを１回転させてできる立体(円すい台)の体積は、３分の１２５×３.１４－９×３.１４＝３分の９８×３.１４㎤となりますが、分数と３.１４をかけ合わせるとややこしそうなのでとりあえず放置しておきます。












【イを１回転させたときにできる立体の体積】
 
イを１回転させると、次の図のように底面の半径が１㎝、高さが２㎝の円柱になります。
 
その円柱の体積は１×１×３.１４×２＝２×３.１４㎤となるのですが、さっき「×３.１４」の部分を計算せずにそのまま放置したので、こちらも同じ状態で残しておきます。















【ウを１回転させたときにできる立体の体積】
 
ウを１回転させると、次の図のようなドーナツ型の立体ができるので、その体積を求めるには、底面の半径が５㎝、高さが２㎝の円柱の体積から、底面の半径が３㎝、高さが２㎝の円柱の体積を引けばＯＫです。
 
底面の半径が５㎝、高さが２㎝の円柱の体積は５×５×３.１４×２＝５０×３.１４㎤、そして底面の半径が３㎝、高さが２㎝の円柱の体積は３×３×３.１４×２＝１８×３.１４㎤です。
 
したがって、ウを１回転させてできる立体の体積は５０×３.１４－１８×３.１４＝３２×３.１４㎤となります。










これまでに分かったことをまとめてみると、
 
・アを１回転させたときにできる立体の体積→３分の９８×３.１４㎤
・イを１回転させたときにできる立体の体積→２×３.１４㎤
・ウを１回転させたときにできる立体の体積→３２×３.１４㎤
 
となるので、とりあえず３つの式の「×３.１４」以外の部分を足してみると、３分の９８＋２＋３２＝３分の２００になります。
 
※　分子が２００になってキリがいい。計算がしやすくなってハッピー。
 
以上から、答えは３分の２００×３.１４＝３分の６２８㎤になります。