気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のような正八角形ＡＢＣＤＥＦＧＨがあります。この８つの頂点からいくつか選び、直線で結んで図形を作ります。ただし、Ａ、Ｂ、Ｃを結んで作った三角形とＢ、Ｃ、Ｄを結んで作った三角形のように、できあがる形は同じでも、違う頂点を使えば別の三角形であると考えます。次の各問いに答えなさい。
 
※　画像はクリックすると拡大します。














(１)
３つの頂点を選び、直線で結んで三角形を作るとき、直角三角形は全部で何個できますか。
 
(２)
４つの頂点を選び、直線で結んで四角形を作るとき、台形、長方形、正方形を合わせると全部で何個できますか。
 
 
※　続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック！

 

(１)
たとえば次の図のように、辺ＡＢと点Ｅを結ぶと直角三角形ＡＢＥが、そして辺ＡＢと点Ｆを結ぶと直角三角形ＡＢＦができます。
 
つまり、正八角形の１つの辺に対して直角三角形が２個ずつ作れるので、その時点で直角三角形が２×８＝１６個できることが分かります。
 
※　画像はすべて、クリックすると拡大します。








また次の図のように、頂点Ａと、その両側の１個飛ばしの位置にあるＣとＧを選んで直線で結ぶと、直角二等辺三角形ＡＣＧができます。
 
このような直角二等辺三角形は、正八角形の頂点１つに対して１個ずつ作れるので、直角二等辺三角形は全部で８個できます。













つまり、普通の直角三角形が１６個、そして直角二等辺三角形が８個作れるので、３点を選んでできる直角三角形の数は全部で１６＋８＝２４個です。
 
 
(２)
まずは台形、長方形、正方形がそれぞれ何個できるのかを確認し、最後にそれを合計して答えを求めてみます。
 
【作れる台形の数の求め方】
 
台形には平行な辺が必ず１組あるので、そのうちの一方を辺ＡＢとして台形を作ってみると、次の図のようにＡＢＣＨとＡＢＤＧの２個できます。
 
つまり、正八角形には８本の辺があり、それぞれの辺に対して下の図のような台形が２個ずつ作れるので、その時点で台形の数は２×８＝１６個になります。








また、次の図のように点Ａと１個飛ばしの位置にあるＣを結んで辺ＡＣとして、その辺を使って台形を作るとＡＣＤＨができます。
 
正八角形の８個の頂点から、１個飛ばしの位置にある２つの点を結んでできる辺は「ＡＣ、ＢＤ、ＣＥ、ＤＦ、ＥＧ、ＦＨ、ＧＡ、ＨＢ」の８通りであり、それぞれの辺に対して台形が１個ずつできるので、このようにして作れる台形の数は８個になります。













つまり、正八角形の辺を利用してできる台形が１６個、１個飛ばしの点を結んだ辺を利用してできる台形が８個となることが分かったので、台形は全部で１６＋８＝２４個できます。
 
【作れる長方形の数の求め方】
 
正八角形の内部に長方形を作るには、次の図の「辺ＡＢとＥＦ」や「辺ＢＣとＦＧ」のように、向かい合わせの関係にある２辺を選んで直線で結べばＯＫです。
 
正八角形の８本の辺から向かい合わせの２辺を選ぶ方法は８÷２＝４通りなので、正八角形の内部に長方形は全部で４個作れます。








【作れる正方形の数の求め方】
 
次の図のように、正八角形にある８個の頂点から１個飛ばしで４個選んで直線で結ぶと正方形ができます。
 
また、そのような頂点の選び方は下の図の「ＡＣＥＧ」と「ＢＤＦＨ」の２種類しかないので、正八角形の内部に正方形は２個作れます。








以上から、正八角形の内部に作れる台形、長方形、正方形の数は、
 
・台形→２４個
・長方形→４個
・正方形→２個
 
であることが分かったので、答えは２４＋４＋２＝３０個になります。