09/26
Mon
2011
(１)
「８個の点から７個を選んで七角形を作る」のではなく、「８個の点から１個を取り除き、残った７個の点を結んで七角形を作る」という発想で考えればＯＫです。
Ａ～Ｈの８個の点の中から、七角形の頂点として使わない１個を決める選び方は８通りあるので、答えは８通りになります。
(２)
三角形の頂点となる３個を決めてしまえば、残りの５個の点が自動的に五角形の頂点として使われるので、三角形の作り方が何通りあるのかだけを数えればＯＫです。
まずはあまり難しいことを考えずに、「とにかくＡ～Ｈの中から３つ選んで結べば三角形ができるじゃん」という軽いノリで話を進めてみます。
Ａ～Ｈの８個の点から三角形の頂点となる３個を選び、それぞれ頂点１、頂点２、頂点３とすると、
・頂点１の選び方→Ａ～Ｈの中から１個を選ぶので８通り
・頂点２の選び方→さっき選ばなかった７個の中から１個を選ぶので７通り
・頂点３の選び方→最後まで残った６個の中から１個を選ぶので６通り
となるので、その組み合わせは全部で８×７×６＝３３６通りになります。
ただその数え方だと、たとえば次の図の青い三角形を「ＡＢＣ・ＡＣＢ・ＢＡＣ・ＢＣＡ・ＣＡＢ・ＣＢＡ」のように６回も数えてしまっています。
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つまり、さっきの計算で求めた「３３６通り」は、１つの三角形を６回重複して数えた場合の組み合わせなので、実際にできる三角形の組み合わせは、３３６÷６＝５６通りになります。
(３)
さっきの問題と同じように、まずは「Ａ～Ｈの中から４つ選んで結べば四角形ができるよ」という感じで話を始めてみます。
Ａ～Ｈの８個の点から四角形の頂点となる４個を選び、それぞれ頂点１、頂点２、頂点３、頂点４とすると、
・頂点１の選び方→Ａ～Ｈの中から１個を選ぶので８通り
・頂点２の選び方→さっき選ばなかった７個の中から１個を選ぶので７通り
・頂点３の選び方→頂点１と２で選ばなかった６個の中から１個を選ぶので６通り
・頂点４の選び方→最後まで残った５個の中から１個を選ぶので５通り
なので、その組み合わせは全部で８×７×６×５＝１６８０通りになるのですが、それだとさっきの問題のときと同じように、１つの四角形を何度も重複して数えてしまっています。
たとえば次の図の青い四角形には４つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、「ＡＢＣＤ」とか「ＢＣＡＤ」、あるいは「ＣＡＤＢ」といったようにいろんな並べ方があります。
そこで、Ａ～Ｄの４つの並べ方を数えてみると、
・１個目→Ａ～Ｄの４個の中から１つを選ぶので４通り
・２個目→１個目で選ばなかった３個の中から１つを選ぶので３通り
・３個目→１個目と２個目で選ばなかった２個のどちらかなので２通り
・４個目→最後まで残った１個があてはまるので１通り
となることから、全部で４×３×２×１＝２４通りとなります。
つまり、さっきの計算で求めた「１６８０通り」は、１つの四角形を２４回重複して数えた場合の組み合わせなので、実際にできる四角形の組み合わせは、１６８０÷２４＝７０通りになります。
・・・という感じでめでたく終わりたいところなのですが、この問題にはもう１つだけ落とし穴が用意してあります。
たとえば次の図から青い４つの頂点を選んで四角形ＡＢＣＤを完成させたとき、残り４つの頂点をつなぎ合わせればオレンジ色の四角形ＥＦＧＨができます。
逆にいえば、自分ではオレンジ色の頂点を４つ選んで四角形ＥＦＧＨを作ったつもりなのに、残り４つの頂点をつなぎ合わせれば青い四角形ＡＢＣＤが自動的に完成します。
つまり、上の図の「青い四角形を作るぞー」と思ったときに実はオレンジ色の四角形もできており、逆に「オレンジ色の四角形を作るぞー」と思ったときには青い四角形もできているので、自分では「青い四角形」と「オレンジ色の四角形」を１回ずつ数えているつもりでも、実は２回ずつ数えてしまっているのです。
以上から、さっき求めた「７０通り」だと、同じ四角形を２回ずつ重複して数えてしまっていることが分かったので、四角形を作るときの点の選び方は、全部で７０÷２＝３５通りになります。
【補足】
(３)は８個の頂点を４個ずつに分けて四角形を２個作るので、「四角形を１個作るつもりが実は２個できてました、てへっ♪」という展開になるのですが、(２)は８個の頂点を使って三角形と五角形を作るので、「三角形を１個作るつもりだったのに、実は三角形がもう１個できてました」なんてことはあり得ません。
(３)だと最後に「÷２」が必要だけど、(２)はその必要がないのは、その違いが原因です。
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