気まぐれ解説カフェ(仮)

１番目の数を１、２番目の数も１とし、３番目の数は１番目と２番目の数を足した数を３で割った余り２とします。４番目以降も、３番目の数の作り方と同様にして、直前の２つを足した数を３で割った余りとします。３で割り切れた時の余りは０として、次の問いに答えなさい。
 
(１)
４番目から１６番目の数を、次にある表に書きなさい。
 
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(２)
２０１１番目の数を答えなさい。
 
(３)
１番目からｎ番目の数を順にすべて足します。その和が初めて１１１１０５以上となるのはｎがいくつのときか答えなさい。
 
 
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(１)
表の中に書き込むのは３で割ったときの余りの数なので、必ず「０・１・２」のどれかになります。
 
とりあえず、問題文の指示通りに前の２つの数の和を３で割り、そのときの余りを調べてみると、
 
・４番目→(１＋２)÷３＝１なので、余りは０
・５番目→(２＋０)÷３＝０余り２
・６番目→(０＋２)÷３＝０余り２
・７番目→(２＋２)÷３＝１余り１
・８番目→(２＋１)÷３＝１なので、余りは０
・９番目→(１＋０)÷３＝０余り１
・１０番目→(０＋１)÷３＝０余り１
 
となります。
 
もちろんこのまま１６番目まで普通に計算を続けてもＯＫなのですが、１番目から８番目の余りが「１・１・２・０・２・２・１・０」、そして９番目と１０番目が「１・１」なので、この表は「１・１・２・０・２・２・１・０」の８個の数字がひたすら続いていくことが分かります。
 
したがって、表の４番目から１６番目までにあてはまる数字を書き込んでいくと次の図のようになり、１番目から８番目、９番目から１６番目がどちらも「１・１・２・０・２・２・１・０」になっています。
 
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(２)
さっきの問題で、表には「１・１・２・０・２・２・１・０」の８個の数字が１組となってひたすら続いていくことが分かりました。
 
２０１１÷８＝２５１余り３なので、１番目から２０１１番目までの間に「１・１・２・０・２・２・１・０」を２５１回繰り返し、「１・１・２」で終わります。
 
したがって、２０１１番目の数字は「２」になります。
 
 
(３)
「１・１・２・０・２・２・１・０」の８個の数字の和は１＋１＋２＋０＋２＋２＋１＋０＝９なので、その数で１１１１０５を割ってみると、１１１１０５÷９＝１２３４５となります。
 
つまり、「１・１・２・０・２・２・１・０」の８個の数字を１２３４５組ならべたとき、数字の合計は１１１１０５になるので、答えは８×１２３４５＝９８７６０(番目)になります。おしまい。
 
・・・と思った瞬間にアウトなんですね(笑)
 
「１・１・２・０・２・２・１・０」が１２３４４組ならんだ時点で、合計は９×１２３４４＝１１１０９６になっています。
 
また、１２３４５組の最後の数字は「０」なので、次の図のように、１２３４５組の７個目にある「１」を足した時点で、合計は１１１１０５になっているはずです。





つまり、１２３４５組目の最後にある「０」は足す必要がないので、答えは８×１２３４５－１＝９８７５９(番目)になります。