Ａさんは長い階段の途中の段に立っています。
さいころを１個ふって、奇数の目が出たら、出た目の数だけ段を上がり、偶数の目が出たら、出た目の数だけ段を下がることにします。
さいころを３回ふったとき、もとの段に戻るような目の出方は何通りありますか。
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とりあえず、３回のさいころの目が「奇数・奇数・奇数」とか「偶数・偶数・偶数」みたいな一方通行の組み合わせはあり得ません。
つまり、３回のうち必ず１回は「奇数」または「偶数」のどちらかが入っているのですが、よく考えてみれば「偶数が２回」と「奇数が１回」という組み合わせも絶対にあり得ないんですね。
なぜなら、「偶数＋偶数」の答えは奇数にはならないので、偶数が２回出た時点でスタート地点に戻れないことが確定してしまうからです。
というわけで、３回のさいころの目のうち２回は奇数、そして残りの１回が偶数になる場合だけを考えればＯＫです。
そこで、次の図のように奇数の枠を２つと偶数の枠を１つ用意し、偶数の枠に「２」、「４」、「６」をあてはめた場合の組み合わせを考えてみます。
ただし、奇数２つの枠には左側に小さい数を、そして右側には大きい数をあてはめるものとします。
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上の図の組み合わせを大きく２つのタイプに分けると、
・ 奇数の枠に同じ数をあてはめる「Ａ・Ａ・Ｂ」型
・ 奇数の枠に違う数をあてはめる「Ａ・Ｂ・Ｃ」型
に分類できます。
このうち「Ａ・Ａ・Ｂ」型は、次の図のように３か所のどこにＢ(偶数)をあてはめるのかを考えればＯＫなので、並べ替え方が３通りあります。
つまり、「Ａ・Ａ・Ｂ」型である(１・１・２)と(３・３・６)はそれぞれ並べ替え方が３通りずつあるので、合わせて２×３＝６通りの組み合わせがあります。
一方の「Ａ・Ｂ・Ｃ」型の場合、次の図のように、
・ 左の枠→Ａ・Ｂ・Ｃのうちどれか１つだから３通り
・ 真ん中の枠→残り２つのうちのどちらかだから２通り
・ 右の枠→残った１つをあてはめるだけだから１通り
のように考えると、全部で３×２×１＝６通りの並べ替え方があります。
つまり、「Ａ・Ｂ・Ｃ」型である(１・３・４)と(１・５・６)はそれぞれ並べ替え方が６通りずつあるので、合わせて２×６＝１２通りの組み合わせがあります。
以上から、さいころの目の出方は全部で６＋１２＝１８通りになります。
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