１円硬貨と５円硬貨と１０円硬貨と５０円硬貨がそれぞれたくさんあります。これらから必要な枚数だけ取り出して、合計金額を１０円にする方法は４通り、合計金額を５０円にする方法は( ① )通り、合計金額を１００円にする方法は( ② )通りあります。
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①
合計金額を５０円にするには、「５０円硬貨だけ１枚」が１通り、「１０円硬貨を５枚」も１通りあり、それ以外のパターンは「１０円硬貨を何枚使うのか」に注目してていねいに数えていきます。
たとえば１０円硬貨を４枚使うとき、残りの５０－４０＝１０円の作り方は、５円硬貨を２枚使う、１枚使う(１円硬貨は５枚)、０枚使う(１円硬貨を１０枚)の３通りになります。
※ １０÷５＝２なので、５円硬貨は最大で２枚、最小で０枚。使い方は２＋１＝３通り。
また、１０円硬貨を３枚使う場合、残りの５０－３０＝２０円の作り方は、５円硬貨を４枚使う、３枚使う、２枚使う、１枚使う、０枚使うの５通りになります。
※ ２０÷５＝４なので、５円硬貨は最大で４枚、最小で０枚。使い方は４＋１＝５通り。
他の場合も同じように計算して求めてみると、
・１０円硬貨を２枚使う→残りは３０円、３０÷５＝６なので、６＋１＝７通り。
・１０円硬貨を１枚使う→残りは４０円、４０÷５＝８なので、８＋１＝９通り。
・１０円硬貨を０枚使う→残りは５０円、５０÷５＝１０なので、１０＋１＝１１通り。
となることから、「５０円硬貨だけ１枚」と「１０円硬貨を５枚」以外の組み合わせは、３＋５＋７＋９＋１１＝３５通りあることが分かります。
したがって、４種類の硬貨で５０円を作る方法は全部で１＋１＋３５＝３７通りになります。
②
合計金額を１００円にするには、「５０円硬貨を２枚」が１通り、「５０円硬貨１枚とそれ以外の硬貨との組み合わせ」が何通りか、そして「５０円硬貨を１枚も使わない作り方」が何通りかあります。
【５０円硬貨１枚とそれ以外の硬貨との組み合わせ】
とりあえず５０円硬貨を１枚使えば、残りの５０円は１０円硬貨・５円硬貨・１円硬貨の組み合わせで作ればＯＫです。
ただ、さっきの問題で
・５０円を１０円硬貨だけで作る→１０円硬貨を５枚の１通りだけ
・５０円をそれ以外の組み合わせで作る→全部で３５通り
となることをすでに確認済みなので、残りの５０円を１０円硬貨・５円硬貨・１円硬貨の組み合わせで作る方法は全部で１＋３５＝３６通りとなることがすぐに分かります。
【５０円硬貨を１枚も使わずに１００円を作る】
５０円硬貨を１枚も使わずに１００円を作るには、とりあえず１０円硬貨だけ１０枚使う方法が１通りあります。
また、１０円硬貨を９枚しか使わない場合、残りの１００－９０＝１０円は５円硬貨と１円硬貨を組み合わせて作ることになります。
その場合、１０÷５＝２なので、５円硬貨は最大で２枚、最小で０枚となることから、最後に残った１０円の作り方は２＋１＝３通りとなることが分かります。
１０円硬貨を８枚使う場合は、残りの１００－８０＝２０円をさっきと同じように５円硬貨と１円硬貨の組み合わせで作ります。
その場合、２０÷５＝４なので、５円硬貨は最大で４枚、最小で０枚となることから、最後に残った２０円の作り方は４＋１＝５通りとなります。
他の場合も同じように計算して求めてみると、
・１０円硬貨を７枚使う→残りは３０円、３０÷５＝６なので、６＋１＝７通り。
・１０円硬貨を６枚使う→残りは４０円、４０÷５＝８なので、８＋１＝９通り。
・１０円硬貨を５枚使う→残りは５０円、５０÷５＝１０なので、１０＋１＝１１通り。
・１０円硬貨を４枚使う→残りは６０円、６０÷５＝１２なので、１２＋１＝１３通り。
・１０円硬貨を３枚使う→残りは７０円、７０÷５＝１４なので、１４＋１＝１５通り。
・１０円硬貨を２枚使う→残りは８０円、８０÷５＝１６なので、１６＋１＝１７通り。
・１０円硬貨を１枚使う→残りは９０円、９０÷５＝１８なので、１８＋１＝１９通り。
・１０円硬貨を０枚使う→残りは１００円、１００÷５＝２０なので、２０＋１＝２１通り。
となることから、５０円硬貨を１枚も使わずに１００円を作る方法は、「１０円硬貨を１０枚」の場合の１通りも含めて、１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＋１７＋１９＋２１＝１２１通りあることが分かります。
つまり、４種類の硬貨で１００円を作る方法は、
・５０円硬貨だけ→１通り
・５０円硬貨１枚とそれ以外の硬貨との組み合わせ→３６通り
・５０円硬貨を１枚も使わない→１２１通り
となることが分かったので、全部で１＋３６＋１２１＝１５８通りになります。
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