４けたの整数ＡＢＣＤを考えます。ただし、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄには同じ数字があってもよいこととします。数字の並びを逆にしたＤＢＣＡがＡＢＣＤより大きい４けたの整数となるようなＡＢＣＤは全部で( ア )個あります。また、ＤＣＢＡがＡＢＣＤと等しい４けたの整数となるようなＡＢＣＤすべての合計は( イ )です。
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(ア)
４けたの数ＤＣＢＡがＡＢＣＤよりも大きくなるのは、
① 「DCBA」の千の位にあるＤが、「ＡＢＣＤ」の千の位にあるＡよりも大きいとき
② 千の位にあるＤとＡは等しく、百の位にあるＣがＢより大きいとき
の２通りが考えられます。
【補足】
「あれ？十とか一の位で数の大きさが決まる場合もあるんじゃないの？」と思ったあなた。
千の位にあるＤとＡが等しく、百の位にあるＣとＢも同じなのに、十の位のＢとＣや一の位のＡとＤの大きさが違うなんてありえないですよね。
だから、ＤＣＢＡとＡＢＣＤの大きさが異なる場合は、必ず千の位または百の位で決着がついているはずなのです。
というわけで、ここからはさっきの①と②の場合でＡＢＣＤがそれぞれ何通りできるのかを考えてみます。
【千の位にあるＤがＡよりも大きい場合】
４けたの数ＤＣＢＡとＡＢＣＤを次の図のように並べてみると、千の位にあるＤがＡより大きければ、残りのＢとＣには何があってもかまいません。
また、ＤやＡはいちばん上の位にあてはまる数なので「０」を使うことはできません。
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ＤがＡより大きくなる組み合わせは、Ｄ＝２ならＡ＝１、Ｄ＝３ならＡ＝１または２、Ｄ＝４ならＡ＝１か２か３、・・・のようにＤ＝９まで数えていくと、全部で１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝３６通りあります。
また、ＢとＣにはそれぞれ０から９までの１０個の数を好きにあてはめればＯＫなので、その組み合わせは次の図のように１０×１０＝１００通りあります。
したがって、ＤがＡより大きい場合のＡＢＣＤの組み合わせは全部で３６×１００＝３６００通りになります。
【千の位のＤとＡは等しく、百の位にあるＣがＢより大きい場合】
次の図のように千の位にあるＤとＡが等しいとき、残りのＣがＢより大きければＤＣＢＡの方が大きい数になります。
その場合、ＤとＡにあてはまる数の組み合わせは(１・１)から(９・９)までの９通りになります。
また、Ｃ＝１ならＢ＝０、Ｃ＝２ならＢ＝０または１、Ｃ＝３ならＢ＝０か１か２、・・・のようにＣ＝９のときまで数えていくと、その組み合わせは全部で１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４５通りあります。
したがって、ＤとＡが等しい場合のＤＣＢＡの組み合わせは全部で９×４５＝４０５通りです。
以上から、ＤＣＢＡがＡＢＣＤよりも大きくなる場合は全部で３６００＋４０５＝４００５通りになります。
(イ)
ＡＢＣＤとＤＣＢＡを等しくするためには、次の図のようにＡとＤ、ＢとＣをそれぞれ同じ数の組み合わせにすればＯＫです。
また、ＡとＤには(１・１)から(９・９)までの９通りのうちのどれか、そしてＢとＣには(０・０)から(９・９)までの１０通りのうちのどれかがあてはまるので、４けたの整数ＡＢＣＤは全部で９×１０＝９０通りできます。
がんばってその９０個の数(１００１から９９９９まで)をたし算すれば答えは分かるのですが、それだと日が暮れてしまうので、合計の求め方をちょっと工夫してみましょう。
【その１ ＡとＤの合計】
たとえば次の図のようにＡとＤに「１」をあてはめてみると、残りのＢとＣに入る数は(０・０)から(９・９)までの１０通りが考えられるので、４けたの数「１ＢＣ１」は「１００１」から「１９９１」までの１０個になります。
同じように「２ＢＣ２」も１０通り、「３ＢＣ３」も１０通り、・・・と考えていくと、次の図のようにＡとＤには「１」から「９」までの数がそれぞれ１０回ずつ使われることが分かります。
１から９までの和は４５、そしてＤには１から９がそれぞれ１０回ずつ出てくるので、上の図のＤに使われる数だけを縦にたし算すると４５×１０＝４５０になります。
Ａに使われる数の合計も同じく４５０になるのですが、Ａは千の位の数なので、その合計は４５０×１０００＝４５００００になります。
【その２ ＢとＣの位の合計】
今度は次の図のようにＢとＣに「０」をあてはめてみると、残りのＡとＤに入る数は(１・１)から(９・９)までの９通りなので、４けたの数「Ａ００Ｄ」は「１００１」から「９００９」までの９個になります。
同じように「Ａ１１Ｄ」も９通り、「Ａ２２Ｄ」も９通り、・・・と考えていくと、次の図のようにＢとＣには「０」から「９」までの数がそれぞれ９回ずつ使われることになります。
０から９までの和は４５、そしてＢとＣには０から９がそれぞれ９回ずつ出てきます。
Ｃは十の位の数なので、縦にたし算したときの合計は４５×９×１０＝４０５０になります。
また、Ｂは百の位の数なので、その合計は４５×９×１００＝４０５００になります。
以上から、Ａの合計は４５００００、Ｂの合計は４０５００、Ｃの合計は４０５０、Ｄの合計は４５０になることが分かったので、ＡＢＣＤの合計は４５００００＋４０５００＋４０５０＋４５０＝４９５０００になります。
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