４人がプレゼントを１つずつ持ち寄り、それを１つずつ受け取ります。全員が自分の用意したプレゼントを受け取らない方法は何通りありますか。
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まずは問題文のルールに関係なく、４人がとにかく１つずつプレゼントを受け取る方法が何通りあるのかを数えてみます。
・最初に受け取る人・・・・４つのプレゼントの中から選ぶので４通り
・２番目に受け取る人・・・残り３つのプレゼントの中から選ぶので３通り
・３番目に受け取る人・・・残り２つのプレゼントの中から選ぶので２通り
・４番目に受け取る人・・・残りのプレゼントは１つしかないので１通り
つまり、４人がどれでもかまわないから１つずつプレゼントを受け取る方法は、全部で４×３×２×１＝２４通りあります。
ここから「自分のプレゼントを受け取ってしまった場合」を引けば答えが出るのですが、「４人のうちの何人が自分のプレゼントを受け取ってしまったのか」を基準にして、ていねいに数えていく必要があります。
① 全員が自分のプレゼントを受け取ってしまう場合
これは１通りしかありえません。
② ４人のうちの３人が自分のプレゼントを受け取ってしまう場合
その３人の組み合わせは、ＡＢＣ、ＡＢＤ、ＡＣＤ、ＢＣＤの４通りあります。
③ ４人のうちの２人が自分のプレゼントを受け取ってしまう場合
その２人の組み合わせは、ＡＢ、ＡＣ、ＡＤ、ＢＣ、ＢＤ、ＣＤの６通りあります。
④ ４人のうちの１人が自分のプレゼントを受け取ってしまう場合
その１人の選び方は、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４通りあります。
つまり、誰かが自分のプレゼントを受け取ってしまう場合は、全部で１＋４＋６＋４＝１５通りあります。
以上から、全員が自分の用意したプレゼントを受け取らない方法は、２４－１５＝９通りになります。
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