赤、青、黄、緑の４色のカードが５枚ずつ計２０枚あります。各色のカードには、それぞれ１から５までの整数が１つずつ書いてあります。この２０枚のカードの中から、カードの色がすべて異なるように３枚のカードを選びます。このとき、次の選び方は何通りありますか。
(１)
３枚のカードの整数がすべて等しい場合。
(２)
３枚のカードの整数のうち、ちょうど２つが等しい場合
(３)
３枚のカードの整数のうち、最も小さい整数が４である場合
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック！
(１)
たとえば「１」と書かれたカードは、次の図のように赤、青、黄、緑の４枚あるので、その中から３枚を選べばカードの整数がすべて「１」でそろいます。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
「４枚の中から３枚を選ぶ」ということは、逆の見方をすれば「４枚の中から使わない１枚を選ぶ」ことと同じので、「１」と書かれた４枚のカードから３枚を選ぶ方法は、
・赤いカードの「１」を選ばない
・青いカードの「１」を選ばない
・黄色いカードの「１」を選ばない
・緑色のカードの「１」を選ばない
の４通りになります。
また、「２」～「５」と書かれた４枚のカードについても、それぞれ３枚を選ぶ(というか１枚を選ばない)方法が４通りずつあるので、答えは４×５＝２０通りになります。
(２)
次の図のように、３枚の数字カードをあてはめる枠を「同じ数をあてはめる２つ」と「違う数をあてはめる１つ」に分け、それぞれ数字と色の使い方が何通りあるのかを考えてみます。
【同じ数をあてはめる２つの枠】
数字は「１」から「５」までのどれか１種類をあてはめるので、５通りの選び方があります。
また、色の選び方の組み合わせは、
・一方が赤→もう一方は「青・黄・緑」からどれか１つを選ぶので３通り
・一方が青→もう一方は「黄・緑」のどちらか１つを選ぶので２通り
・一方が黄→もう一方は緑しかないので１通り
となることから、全部で３＋２＋１＝６通りあります。
つまり、数字の選び方は５通り、色の選び方の組み合わせは６通りなので、全部で５×６＝３０通りになります。
【違う数をあてはめる１つの枠】
数字は「同じ数をあてはめる２つの枠」で使わなかった４種類からどれか１つを選ぶので４通り、色は「同じ数をあてはめる２つの枠」で使わなかった２種類のうちのどちらかなので２通りです。
したがって、数字と色の組み合わせは全部で４×２＝８通りになります。
以上から、「同じ数をあてはめる２つの枠」の数字と色の組み合わせは３０通り、「違う数をあてはめる１つの枠」の数字と色の組み合わせは８通りあることが分かったので、３枚のカードの数字と色の組み合わせは全部で３０×８＝２４０通りになります。
【補足】
「同じ数をあてはめる２つの枠」について、色の選び方を
・１つ目の枠→「赤・青・黄・緑」のどれか１つを選ぶので４通り
・２つ目の枠→１つ目の枠で使わなかった３種類の中からどれか１つを選ぶので３通り
なので４×３＝１２通りじゃないの？と考えた瞬間にアウトです。
そのような数え方をするのは、たとえば「３枚のカードを並べて３けたの数を作る」とか「３枚のカードを選んで左から順に並べる」のような順番にこだわる問題の場合です。
今回のように「順番とかどうでもいいから、ただ単に３枚を選んでね」という問題の場合、たとえば「赤１・青１」と「青１・赤１」は１通りとして数えます。
(３)
３枚のカードのうち、最小の数を４にするには、「４」と「５」の２種類の数字だけ使えばＯＫなので、３つの数字の組み合わせは「３つとも４」、「４が２つと５が１つ」、「４が１つと５が２つ」の３パターンが考えられます。
【３つとも「４」を使う場合】
３つの数字をすべて４にするには、次の図の４色の「４」から「使わない１枚」を選べばＯＫなので、その選び方は４通りあります。
※ (１)で同じシチュエーションがありましたね。
【「４」が２つと「５」が１つにする場合】
次の図のように、３つの数字を「４が２つと５が１つ」にする場合、「４」をあてはめる２つの枠の色の使い方は、
・一方が赤→もう一方は「青・黄・緑」からどれか１つを選ぶので３通り
・一方が青→もう一方は「黄・緑」のどちらか１つを選ぶので２通り
・一方が黄→もう一方は緑しかないので１通り
となることから、全部で３＋２＋１＝６通りあります。
※ (２)でまったく同じことやりましたね。
また、「５」をあてはめる枠の色の選び方は、「４」をあてはめる２つの枠で使わなかった２種類のうちのどちらかなので２通りです。
したがって、３つの数字を「４が２つと５が１つ」とする組み合わせは全部で６×２＝１２通りあります。
【「４」が１つと「５」が２つにする場合】
次の図のように、３つの数字を「４が１つと５が２つ」にする場合、さっきの「４が２つと５が１つ」の図と条件がまったく同じになります。
したがって、３つの数字を「４が１つと５が２つ」にする組み合わせも１２通りあります。
以上から、「３つとも４」は４通り、「４が２つと５が１つ」と「４が１つと５が２つ」はどちらも１２通りあることが分かったので、答えは４＋１２×２＝２８通りになります。
PR
