半径４㎝の円を図のように並べます。
(１)
図１の色をぬった部分の面積は何㎠ですか。辺の長さが８㎝の正三角形の面積は２７.７１㎠で、円周率は３.１４です。
(２)
図１に続いて、３段目には３つの円、４段目には４つの円を並べて、図２のように１３段目まで並べます。このとき、図１の色をぬった部分と同じものがたくさんできます。その面積の合計は何㎠ですか。
【補足】どちらも求め方をふくめて答える問題です。
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(１)
次の図のように３つの円の中心を結んでみると、一辺の長さが８㎝の正三角形できます。
この正三角形の面積は２７.７１㎠と分かっているので、そこから半径４㎝で中心角６０度のおうぎ形３つ(つまり半円)の面積を引けば、緑色の部分の面積が求められます。
半径４㎝の半円の面積は４×４×３.１４÷２＝２５.１２㎠なので、求める面積は２７.７１－２５.１２＝２.５９㎠になります。
(２)
まずは円が１段増えるごとに、緑色の部分が何か所ずつ増えていくのかを確認してみます。
・１段のとき→０か所
・２段目まで→１か所(図１)
・３段目まで→１＋３＝４か所(図２)
・４段目まで→１＋３＋５＝９か所(次の図)
つまり□段目までにある色をぬられた部分の個数は、最初の奇数である「１」から「□－１番目の奇数」までの和になっています。
【もうちょっと具体的に説明してみる】
☆ ３段目までにある緑色の部分の個数
３－１＝２なので、最初の奇数である１から２番目の奇数である３までの和を求めればＯＫ。つまり１＋３＝４か所になります。
☆ ４段目までにある緑色の部分の個数
４－１＝３なので、最初の奇数である１から３番目の奇数である５までの和を求めればＯＫ。つまり１＋３＋５＝９か所になります。
つまり、１３段目までに色をぬられた部分の個数は、最初の奇数である「１」から１３－１＝１２番目の奇数である「２３」までの和を求めればＯＫなので、(１＋２３)×１２÷２＝１４４個だと分かります。
色をぬられた部分の面積は１か所あたり２.５９㎠なので、全部で２.５９×１４４＝３７２.９６㎠になります。
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