５０個の電球に１から５０までの番号がつけられています。それぞれの電球にはボタンがあり、それを１回押すと、ついている電球は消え、消えている電球はつきます。
はじめにすべての電球が消えていて、次の規則で５０回の操作を行います。
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すべての操作が終わったとき、次の問いに答えなさい。
(１)
番号１～１０の電球それぞれについて、電球がついていれば○、消えていれば×を次の表にかきなさい。
(２)
番号１から５０の電球の中で、ついている電球の個数はいくつですか。また、その電球の番号はどんな数かを述べなさい。
(３)
番号１から５０の電球の中で、４回ボタンが押された電球の個数はいくつですか。
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(１)
最初はすべての電球が消えているので、約数が奇数個ある番号なら最後に電気はつき、約数が偶数個ある番号なら最後に電気は消えています。
そこで、番号１から１０それぞれに約数が何個あるのかを確認してみると・・・
・番号１・・・１だけだから１個→つく
・番号２・・・１と２の２個→消える
・番号３・・・１と３の２個→消える
・番号４・・・１、２、４の３個→つく
・番号５・・・１と５の２個→消える
・番号６・・・１、２、３、６の４個→消える
・番号７・・・１と７の２個→消える
・番号８・・・１、２、４、８の４個→消える
・番号９・・・１、３、９の３個→つく
・番号１０・・・１、２、５、１０の４個→消える
この結果にしたがって表に○と×を書きこむと次のようになります。
(２)
さっきの表に「○」を書きこんだ番号は「１」、「４」、「９」でしたが、この３つの数に共通するのは、どれも(同じ数)×(同じ数)の答えであるということです。
※ 平方数ともいいます。
例えば４×４＝１６の約数は「１・２・４・８・１６」の５個、５×５＝２５の約数は「１・５・２５」の３個のように、平方数の約数はいつでも奇数個になっています。
したがって、１から５０までの番号の中で最後についている電球の個数は、番号が１・４・９・１６・２５・３６・４９の７個で、それらの番号には「(同じ数)×(同じ数)の答えである」または「平方数である」という共通点があります。
(３)
４回ボタンがおされる電球には、約数を４個もつ番号が書かれているはずです。
約数が４個ある整数には、大きく分けて「□×□×□」と「□×△」という２つのパターンが考えられます。
※ ただし、□や△にはそれぞれ素数があてはまるものとします。
① □×□×□の場合
□×□×□の約数は、「１」、「□」、「□×□」、「□×□×□」の４個になります。
例えば□＝２のとき、□×□×□の答えは２×２×２＝８となりますが、８の約数は小さい順に１、２、２×２＝４、２×２×２＝８の４個ですね。
同じように□＝３のときの答えである３×３×３＝２７にも約数が４個あるのですが、次に大きい素数である５を□にあてはめると５×５×５＝１２５となってしまい、５０をはるかに超えてしまうのでダメです。
したがって、□×□×□の条件にあてはまるのは、□＝２のときの答えである８と、□＝３のときの答えである２７の２個になります。
② □×△の場合
□×△の約数は、「１」、「□」、「△」、「□×△」の４個になります。
例えば□＝２、△＝３のときの答えである２×３＝６の約数は、小さい順に１、２、３、２×３＝６の４個になります。
□×△の答えが５０を超えないように組み合わせを考えてみると・・・
・□＝２のとき→△は３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３の８通り
・□＝３のとき→△は５、７、１１、１３の４通り
・□＝５のとき→△は７だけなので１通り
したがって、□×△にあてはまる組み合わせは、全部で８＋４＋１＝１３個あります。
①と②の結果から、１から５０までの中で約数が４個ある整数は全部で２＋１３＝１５個あり、それらが番号として書かれた電球は４回ボタンがおされます。
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