次の図のように、角ＢＡＰ＝４２度、角ＡＣＰ＝３１度、ＡＰ＝ＢＰ＝ＣＰとなる平行四辺形ＡＢＣＤがあります。このとき、次の角の大きさを求めなさい。
① 角ＢＰＣ
② 角Ｄ
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①
次の図の辺ＡＰとＢＰとＣＰの長さは等しいので、三角形ＰＡＢとＰＡＣとＰＢＣはどれも二等辺三角形です。
したがって、角ＡＢＰの大きさはＢＡＰと同じく４２度、そして角ＣＡＰの大きさはＡＣＰと同じく３１度です。
また、角ＰＢＣとＰＣＢの大きさも同じなので、どちらも図のように「□度」と表せます。
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上の図の三角形ＡＢＣの内角の和は１８０度なので、４２×２＋３１×２＋□×２＝１４６＋□×２＝１８０度と表せます。
また、三角形ＰＢＣの内角の和も１８０度なので、角ＢＰＣ＋□×２＝１８０度と表すこともできます。
その２つの式を次の図のように並べて比べてみると、どちらも合計が同じで「□×２」の部分も共通なので、上の式の「１４６度」と下の式の「角ＢＰＣ」は等しいことが分かります。
したがって、角ＢＰＣの大きさは１４６度になります。
②
さっきの問題で角ＢＰＣの大きさは１４６度であることが分かったので、次の図の二等辺三角形ＰＢＣの角ＰＢＣとＰＣＢの大きさは、どちらも(１８０－１４６)÷２＝１７度になります。
平行四辺形には「向かい合う角の大きさが等しい」という性質があるので、次の図の角ＡＢＣとＡＤＣの大きさは同じです。
上の図の角ＡＢＣの大きさは４２＋１７＝５９度なので、角ＡＤＣ(角Ｄ)の大きさも５９度になります。
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