気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図は、ある駅の中の通路の一部分です。ＡＢ間は動く通路になっていて、Ａ→Ｂの向きに一定の速さで床面が動いています。動く通路の間では立ち止まっていてもＡ→Ｂの向きに進み、Ａ→Ｂの向きに歩いたときにはより速く進むことができます。逆向きに歩くと、進みが遅くなります。
 
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また、ＢＣ間は床面が動かない普通の通路になっています。それぞれの距離は、ＡＢ間が９６ｍ、ＢＣ間が７２ｍです。たとえば、動く通路の速さが分速１０ｍであるとして、普通の通路を歩く速さが分速７０ｍである人がＡＢ間を１往復するとき、Ａ→Ｂと移動するのにかかる時間は( ア )、Ｂ→Ａと移動するのにかかる時間は( イ )となります。
 
(１)
文章中の( ア )と( イ )にあてはまる時間を、「何分何秒」の形で求めなさい。
 
(２)
動く通路の速さが分速( ウ )ｍであるとして、太郎君が普通の通路を歩く速さは分速７６ｍ、次郎君が普通の通路を歩く速さは分速( エ )ｍであるとします。太郎君はＡ→Ｂ→Ｃの向きに、次郎君はＣ→Ｂ→Ａの向きに、それぞれ同時に出発して歩きます。次のグラフは、２人の移動の様子を表したものです。











グラフのオとカは太郎君がＡＢ間とＢＣ間を移動するのにかかった時間で、これを比で表すと( オ )：( カ )＝１９：３０になります。このとき、次の問いに答えなさい。
 
①
グラフの中に、補助線を引きました。これを利用して、次の比を求めなさい。
(太郎君がＡ→Ｂと移動する速さ)：(太郎君がＢ→Ｃと移動する速さ)
 
②
( ウ )にあてはまる数字を求めなさい。
 
③
次の式の( キ )と( ク )にあてはまる１けたの整数をそれぞれ求めなさい。





④
太郎君と次郎君は、ＡＣ間のちょうど真ん中ですれちがいました。このことから、③の分数を利用して、( エ )にあてはまる数字を求めなさい。
 
 
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(１)
分速７０ｍで歩く人が、ＡからＢへ分速１０ｍで動く通路の上を進むときの速さは、
 
・ＡからＢへ歩く→流れに乗るので、７０＋１０＝分速８０ｍ
・ＢからＡへ歩く→流れにさからうので、７０－１０＝分速６０ｍ
 
になります(次の図参照)。














ＡＢ間は９６ｍなので、分速８０ｍで進むのにかかる時間は９６÷８０＝１.２分＝１分１２秒、そして分速６０ｍで進むのにかかる時間は９６÷６０＝１.６分＝１分３６秒です。
 
したがって、アには１分１２秒、イには１分３６秒があてはまります。
 
 
(２)の①
問題文には「太郎君がＡ→Ｂと移動する速さ」と「太郎君がＢ→Ｃと移動する速さ」を求めろと書いてあるのですが、実際には
 
・太郎君がＡ→Ｂと移動する速さ・・・太郎君が「動く通路＋歩き」で進むときの速さ
・太郎君がＢ→Ｃと移動する速さ・・・太郎君が「歩き」だけで進むときの速さ
 
のことなので、別にＡＢ間とかＢＣ間に強くこだわる必要はありません。
 
また、「なんでわざわざ変な補助線を書き込んでグラフをややこしくしちゃうの？」と思うかもしれませんが、その補助線のおかげで緑色の矢印の幅がどちらも９６ｍになるので、
 
・それぞれの速さで同じ距離(９６ｍ)を進むのにかかる時間の比を求める
・それをひっくり返すと速さの比になる
 
という流れで、「動く通路＋歩き」と「歩き」の速さの比を求めることが可能になります。
 
次のグラフのように、縦軸のＤからまっすぐ右へ赤い補助線を引き、ＡＢ間とＢＤ間の距離をどちらも９６ｍにすると、グラフの青い部分は太郎君が「動く通路＋歩き」で９６ｍ進んだ様子を、そして黄色い部分は「歩き」の速さで９６ｍ進んだ様子を表すことになります。











上のグラフのオには１９、カには３０があてはまるので、太郎君が「動く通路＋歩き」の速さでＡＢ間の９６ｍを進むのにかかる時間は１９、そして「歩き」の速さでＢＣ間の７２ｍを進むのにかかる時間は３０と表せます。
 
また、ＢＤ間の距離はＢＣ間の９６÷７２＝３分の４倍なので、ＢＤ間の９６ｍを「歩き」の速さで進むのにかかる時間は３０×３分の４＝４０となります。
 
つまり、太郎君が同じ距離(９６ｍ)を「動く通路＋歩き」と「歩き」の速さで進むのにかかる時間の比は１９：４０なので、太郎君の「動く通路＋歩き」と「歩き」の速さの比は４０：１９になります。
 
 
(２)の②
さっきの問題で、太郎君の「動く通路＋歩き」と「歩き」の速さの比は４０：１９と表せることが分かりました。
 
また、太郎君の歩く速さは分速７６ｍなので、比の１９が分速７６ｍ、そして比の１は７６÷１９＝分速４ｍとなることが分かります。
 
つまり、太郎君の「動く通路＋歩き」の速さは４×４０＝分速１６０ｍなので、動く通路の速さは１６０－７６＝分速８４ｍになります。
 
 
(２)の③
「５分のキ」と「８分のク」を通分して分母を４０にそろえるには、次の図のように
 
・「５分のキ」→分母と分子をそれぞれ８倍
・「８分のク」→分母と分子をそれぞれ５倍
 
すればＯＫです。







上の図の２つの分子「キ×８」と「ク×５」の合計は２１になるのですが、キに３をあてはめた時点で３×８＝２４となり、２１を超えてしまうので、キには１または２のどちらかがあてはまります。
 
仮にキ＝１とすると、「キ×８」の答えは１×８＝８なので、「ク×５」の答えは２１－８＝１３となります。
 
ただそれだと４０分の１３を約分して分母を８にすることができないのでアウトです。
 
そこで、キに２をあてはめてみると、「キ×８」の答えは２×８＝１６なので、「ク×５」の答えは２１－１６＝５となります。
 
それなら４０分の５を約分して８分の１になるのでＯＫです。
 
したがって、キには２が、クには１があてはまります。
 
 
(２)の④
ＡＣ間の距離は９６＋７２＝１６８ｍなので、２人はその中間地点で出会うまでに、それぞれ１６８÷２＝８４ｍずつ進みました。
 
次の図のように、太郎君は中間地点までの８４ｍをずっと動く通路の上を歩いて分速１６０ｍで進むので、中間地点まで進むのにかかる時間は８４÷１６０＝４０分の２１分間です。
 
また、２人はＡとＣを同時に出発したので、次郎君が中間地点まで進むのにかかる時間も４０分の２１分間です。








さて、この問題には「③の分数を利用して解け」というよく分からん条件指定があるのですが、上の図で太郎君と次郎君が出会うまでにかかった時間である「４０分の２１分間」は、③の分数の式である「５分の２＋８分の１＝４０分の２１」の答えと同じになっているので、たぶんその関連性を利用して解きなさい、という意味なんだろうなー、ぐらいの見当はつくと思います。
 
次郎君が歩く速さを分速□ｍとすると、ＣからＢまでの７２ｍを進むのにかかった時間は７２÷□＝□分の７２分間と表せます。
 
また、Ｂから出会う地点までの８４－７２＝１２ｍは、動く通路の流れに逆らって分速(□－８４)ｍで進むので、その１２ｍを進むのにかかった時間は１２÷(□－８４)＝(□－８４)分の１２分間と表せます。








「□分の７２分間」と「(□－８４)分の１２分間」の合計は４０分の２１分間であり、４０分の２１＝５分の２＋８分の１なので、
 
・「□分の７２」は５分の２と大きさが等しい
・「(□－８４)分の１２」は８分の１と大きさが等しい
 
ことが分かります(次の図参照)。







上の図の「□分の７２」と「５分の２」は分子が７２÷２＝３６倍の関係なので、分母の□には５×３６＝１８０があてはまります。
 
※　この時点で答えはもう出ました。
 
また、「(□－８４)分の１２」と「８分の１」は分子が１２÷１＝１２倍の関係なので、分母の(□－８４)は８×１２＝９６となり、□には９６＋８４＝１８０があてはまります。
 
つまり、上の図のどちらで確かめても□には１８０があてはまるので、次郎君の歩く速さは分速１８０ｍになります。