気まぐれ解説カフェ(仮)

Ｐ市とＲ市は８０００ｍ離れています。Ｐ市からＲ市に行く途中にＱ市があり、Ｐ市とＱ市は２２２０ｍ離れています。Ａ君とＣ君はＰ市からＲ市に向かい、Ｂ君はＱ市からＲ市に向かいます。まずＡ君が出発し、Ａ君がＱ市に着く前にＢ君が出発しました。また、Ｃ君は後から自転車で追いかけることにしました。３人は一定の速さで進み、Ｒ市にはＣ君が最初に到着し、最後のＢ君が到着したのは、Ａ君がＰ市を出発してから８０分後でした。
 
次の図は、Ａ君がＰ市を出発してからの時間(分)と、Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の中でＰ市からいちばん離れている人の、Ｐ市からの位置を表すグラフです。このとき、後の問いに答えなさい。
 
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(１)
Ｂ君の進む速さは毎分何ｍですか。
 
(２)
点Ｍは、Ｂ君が最初に追いつかれた地点を表します。Ｘにあたる数字は何ですか。
 
(３)
Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の３人の、先頭の人と最後の人の距離がいちばん近づくのは、Ａ君がＰ市を出発してから何分後ですか。
 
 
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問題を解く前に、まずは次のグラフのア～オの区間で３人が進んだ様子をそれぞれ確認してみると、
 
【アからイ】
 
最初はＡ君とＣ君がＰ市、Ｂ君がＱ市にいるので、Ｐ市からいちばん遠い地点にいるのはＢ君である。Ａ君がＰ市を出発してから１２分間は、まだＡ君がＢ君のいるＱ市まで到着できず、Ｂ君もＱ市で動かずじっとしているので、グラフは横ばいのままである。
 
【イからＭ】
 
Ｂ君がＱ市からＲ市へ向けて出発し、Ｐ市からＢ君のいる地点までの距離が少しずつ遠ざかるため、グラフが傾き始める。ただし、グラフのＭのときにＡ君に追い越されるため、その後はＰ市からいちばん遠い地点にいるのがＡ君に代わる。
 
【Ｍからウ】
 
Ａ君はＢ君よりも速いので、「イからＭ」のときに比べてグラフの傾きが急になる。「ウからエ」の方がさらにグラフの傾きが急になるのは、ウのときにＣ君に追い越され、その後はＰ市からいちばん遠い地点にいるのがＣ君に代わるからである。
 
【ウからエ】
 
ウのときにＡ君に追いついたＣ君は、そのままの速さでＲ市へ向かい、エのときにＲ市へ到着する。その間もＡ君とＢ君はＲ市に向かって進み続けている。
 
【エからオ】
 
エのときにＣ君が、その後はＡ君、Ｂ君の順でＲ市に到着してグラフは終わる。
 
 
という感じになります。
 
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(１)
Ｐ市からＲ市までは８０００ｍ、Ｐ市からＲ市までは２２２０ｍ離れているので、Ｑ市とＲ市は、次の図のように８０００－２２２０＝５７８０ｍ離れています。
 
Ｂ君はその距離を、グラフの「１２分」から「８０分」までの８０－１２＝６８分かけて進んだので、Ｂ君の進む速さは５７８０÷６８＝分速８５ｍになります。







(２)
Ａ君は、Ｐ市を出発してから５０分後、Ｐ市から６２５０ｍ離れた地点でＣ君に追いつかれます。
 
※　そのとき、Ｂ君はすでにＡ君とＣ君の２人に追い越されています。
 
つまり、Ａ君はＰ市からの６２５０ｍを５０分かけて進むので、その速さは６２５０÷５０＝分速１２５ｍになります。
 
Ｂ君がＱ市を出発するまでの１２分間で、Ａ君はＰ市から１２５×１２＝１５００ｍ進むので、その時点でＡ君とＢ君の距離は、次の図のように２２２０－１５００＝７２０ｍまで近づいています。
 
また、Ａ君は分速１２５ｍ、Ｂ君は分速８５ｍで同じ方向へ進んでいるので、７２０ｍ差を追いつくまでにかかる時間を求めてみると、７２０÷(１２５－８５)＝１８分となります。







Ｂ君が１８分間で進む距離(上の図のＱＸ間)は８５×１８＝１５３０ｍなので、ＰからＸまでの距離は、２２２０＋１５３０＝３７５０(ｍ)になります。
 
また、次の問題に備えて、Ａ君がＰ市からＲ市まで進むのにかかる時間を求めておくと、８０００÷１２５＝６４分になります。
 
 
(３)
Ｃ君はグラフの「５０分」のとき、Ｐ市から６２５０ｍ離れた地点でＡ君に追いつき、「５７分」にＲ市へ到着しました。
 
つまり、Ｃ君は５７－５０＝７分間で８０００－６２５０＝１７５０ｍ進んだので、その速さは１７５０÷７＝分速２５０ｍです。
 
また、Ｃ君がＰ市からＲ市までの８０００ｍを進むのにかかる時間は８０００÷２５０＝３２分なので、Ｃ君がＰ市を出発したのはグラフの５７－３２＝２５分だと分かります。
 
３人のＲ市までの進み方について、これまでに分かったことを確認してみると、
 
・Ａ君→分速１２５ｍで進む。グラフの「０分」のときＰ市を出発し、「６４分」にＲ市へ到着。
・Ｂ君→分速８５ｍで進む。グラフの「１２分」のときＱ市を出発し、「８０分」にＲ市へ到着。
・Ｃ君→分速２５０ｍで進む。グラフの「２５分」のときＰ市を出発し、「５７分」にＲ市へ到着。
 
となるので、３人がＲ市まで進む様子をグラフに表すと次のようになります。









上のグラフを見れば分かるように、３人の距離が最も接近するのは、Ｃ君がＢ君にちょうど追いつき、Ａ君は何とかリードを保っている状態のとき(上の図の黄色い部分)です。
 
つまり、この問題は「Ｃ君がＢ君に追いつくのは、Ａ君がＰ市を出発してから何分後なのか」を求めればＯＫなので、次のグラフのようにＡ君の線を消して、Ｂ君とＣ君の関係だけを見ることにします。










Ｂ君がＱ市を出発する時刻は、Ｃ君がＰ市を出発するときよりも２５－１２＝１３分早いので、Ｂ君はその１３分間で８５×１３＝１１０５ｍ進みます。
 
したがって、Ｃ君がＰ市を出発するとき、Ｂ君はＰ市から２２２０＋１１０５＝３３２５ｍ進んだ地点にいます。
 
Ｃ君がその差を追いつくまでにかかる時間は３３２５÷(２５０－８５)＝３３分の６６５分間ですが、この問題で求めたいのは「Ａ君がＰ市を出発してから何分後か」なので、答えは２５＋３３分の６６５＝３３分の１４９０分後になります。
 
 
【補足】
 
最後の問題の解説で、３人の距離が最も接近するときを見つけるためにわざわざグラフを作成しましたが、「実際に問題を解くときにそんなグラフを作成してる暇ないってば！」と言われりゃ「あー、そうかもしれんねー」と答えるしかありません(笑)
 
※　個人的にこの問題を解いたときは、定規を使ってグラフを作成しました。
 
もしグラフなしでこの問題を解くのなら、「３人の距離が最も接近するのは、３人のうちの２人が同じ地点にいるときでしょ？」と見当をつけた上で、
 
・Ａ君がＢ君に追いついた地点と、そのときＣ君がいる場所との距離
・Ｃ君がＢ君に追いついた地点と、そのときＡ君がいる場所との距離
・Ｃ君がＡ君に追いついた地点と、そのときＢ君がいる場所との距離
 
の３通りを計算でサクッと求め、どれがいちばん近い距離なのかを確認すればＯＫです。
 
ただ、その３通りを計算するのもけっこう手間がかかるので、普通にグラフを作成した方が見当つけやすいんじゃないかなー、と個人的には思います。
 
それと、グラフを作成するかどうかはともかくとして、「３人の距離が最も接近するのは、３人のうちの２人が同じ地点にいるとき」だとすぐ気がつくことは最低限必要なことだと思います。