あるマラソンコースはＡ地点からＢ地点に向かって走る場合、全体の６分の１が上り坂、４分の１が下り坂、残りが平らな道となっています。
まず、太郎君と花子さんがＡ地点を同時に出発してＢ地点へ向かいました。太郎君は一定の速さで走り、花子さんは上りでは太郎君の４分の３倍、下りでは５分の６倍、平らな道では太郎君と同じ速さで走ったところ、太郎君の方が１分３０秒早くＢ地点に到着しました。
次の問いに答えなさい。(式や考え方も書きなさい)
(１)
太郎君はＡ地点からＢ地点に行くのに何時間何分かかりましたか。
(２)
２人は少し休んで、こんどはＢ地点を同時に出発してＡ地点へもどりました。太郎君は来るときよりも１０％おそい一定の速さで走り、花子さんの上り、下り、平らな道での速さはそれぞれ来るときと同じでした。太郎君と花子さんのどちらが何分早くＡ地点に到着しましたか。
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(１)
まずはコース全体の上り、下り、平地の比を求めてみます。
コース全体の距離を１とおくと、上りが６分の１、下りが４分の１なので、平地の割合は１－(６分の１＋４分の１)＝１２分の７と表せます。
つまり、上りと下りと平地の長さの比は、６分の１：４分の１：１２分の７＝２：３：７になります。
次に上りと下りそれぞれの２人の速さの比を確認してみると、上りの速さは花子さんが太郎君の４分の３倍なので、太郎：花子＝１：４分の３＝４：３、そして下りのときは花子さんが太郎君の５分の６倍なので、太郎：花子＝１：５分の６＝５：６と表せます。
このとき、２つの比では太郎君の上りの速さは４、下りの速さは５になっているのですが、それだと問題文にある「太郎君は一定の速さで走り」という条件に合っていません。
そこで、次のように上りの速さの比は５倍、下りの速さの比は４倍して、太郎君の速さをどちらも２０にそろえてみます。
上りのときの速さ・・・太郎：花子＝４：３＝２０：１５
下りのときの速さ・・・太郎：花子＝５：６＝２０：２４
ちなみに、太郎君はいつでも速さが一定なので、平地を進むときの速さも２０と表せます。そして花子さんが平地を進むときの速さは太郎君と同じなので、やはりこちらも２０となります。
【ここまで分かったことの確認】
・上りの距離→２ 下りの距離→３ 平地の距離→７
・太郎君が進む速さ→上りは２０、下りも２０、平地も２０
・花子さんが進む速さ→上りは１５、下りは２４、平地は２０
次はそれらの数を使って、２人がコース全体を進むのにかかった時間を求めてみます。速さの公式である「距離÷速さ＝時間」を使ってひたすら計算していけば、次の図のようにわりと簡単に求められます。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
このとき、上の図で分かった時間の差の割合である１２０分の１は、２人がゴールするまでにかかった時間の差である１分３０秒＝１.５分にあたります。
太郎君がＡＢ間にかかった時間の割合は１２０分の７２なので、答えは１.５×７２＝１０８分＝１時間４８分になります。
(２)
Ｂ地点からＡ地点へ戻るとき、太郎君の速さはＡからＢへ進んだときよりも１０％遅くなるので、２０×(１－０.１)＝１８になります。
花子さんの速さはさっきの問題のときとまったく同じなので、上りは１５、下りは２４、そして平地は２０のままです。
ただし次の図を見れば分かるように、行きと帰りでは上り坂と下り坂が入れ替わるので、上りと下りと平地の距離の比は２：３：７ではなく３：２：７になることがポイントです。
以上のことに気をつけながら、さっきの問題と同じように２人がＢからＡへ進むのにかかる時間を求めてみると次のような図になります。
さっきの問題で１２０分の１が１.５分にあたることを確認済みなので、１２０分の４は１.５×４＝６分だと分かります。
以上から、Ｂ地点からＡ地点へ戻るときは花子さんの方が６分早くゴールに着きました。
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