ある町では、駅と美術館を往復するバスが運行されていて、１０分おきに駅から出発しています。この路線を走るバスは、駅から美術館まで３０分かけて行き、美術館で５分待機し、そして、駅まで３０分かけて同じ道を戻り、駅で５分待機します。各バスとも、この動きをくり返して駅と美術館の間を運行しています。始発のバスは９時に、最終のバスは１５時に駅を出発しています。ただし、どのバスも一定の速さで走ります。次の問いに答えなさい。
(１)
始発のバスが美術館から戻る途中で、初めて別のバスとすれ違うのは、美術館を出発した何分何秒後ですか。
(２)
１０時に駅を出発したバスが美術館に着くまでに、何台のバスとすれ違いますか。
(３)
１５時に駅を出発した最終のバスが、この日初めて駅を出発したのは何時何分ですか。
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(１)
問題文に従ってバスの運行スケジュールを次の図のように表してみると、
・始発のバス→９時３５分に美術館から駅へ向けて出発する。
・２番目のバス→９時１０分に駅を出発して９時４０分に美術館へ到着する。
ことから、この２つのバスが駅と美術館の間のどこかですれ違うことになります。
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バスは駅と美術館の間を３０分で進むので、その２地点間の距離を３０とおくと、バスの分速は３０÷３０＝１と表せます。
９時１０分に駅を出発したバスは、始発のバスが美術館を出発する９時３５分までの３５－１０＝２５分間で１×２５＝２５の距離を進みます。
したがって、９時３５分には２つのバスの間の距離が次の図のように３０－２５＝５になっています。
その後、２つのバスは次の図のように５の距離を向かい合わせで分速１ずつ進むので、その２台がすれ違うまでにかかる時間は５÷(１＋１)＝２.５分＝２分３０秒になります。
(２)
１０時に駅を出発したバスは１０時３０分に美術館へ到着するので、その３０分間に美術館から駅へ戻るバスの台数を調べればＯＫです。
そこで、次の図のように始発からバスのスケジュール表を書いてみると、
・始発から３台目まで→駅に到着するのが１０時から１０時３０分の間
・４台目から６台目まで→美術館を出発するのが１０時から１０時３０分の間
なので、１０時に駅を出発したバスは、１０時３０分に美術館へ到着するまでの間に、下の表の６台のバスとすれ違います。
(３)
９時に駅を出発した始発のバスが再び駅を出発するのは１０時１０分なので、それぞれのバスは１０時１０分－９時＝１時間１０分＝７０分をひとつの周期として運行されていることが分かります。
９時から１５時までは６時間＝３６０分です。３６０÷７０＝５余り１０なので、１５時に駅を出発したバスの動きを次の図のように９時へ向けてさかのぼってみると、７０分の周期を５回くり返し、さらに９時まで１０分間余っていることが分かります。
このバスが最初に駅を出発したのは上の図の赤い点線で示したときなので、答えは９時１０分になります。
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