聖君と光君と学君は、Ａ地点を同時に出発してそれぞれ一定の速さでＢ地点まで歩きました。
聖君と光君については、出発してから１４分後には、進んだ距離と残りの距離の比が聖君は２：３、光君は９：１６となりました。聖君はその後も同じ速さで歩き続けましたが、光君は聖君に追いつこうとしてそれまでの速さより毎分８ｍだけ速く歩くことにしました。しかし、Ｂ地点に先に着いたのは聖君で、そのとき光君はＢ地点から４２ｍ手前のところにいました。
このとき、次の問いに答えなさい。
(１)
聖君がＢ地点に着いたのはＡ地点を出発してから何分後ですか。
(２)
Ａ地点からＢ地点までの距離は何ｍですか。
(３)
学君は、最初は聖君と同じ速さで歩き始めましたが、途中から毎分１０ｍだけ速く歩くことにしたら、聖君より１分早くＢ地点に着くことができました。学君が、聖君と同じ速さで歩いていたのは何分間ですか。
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(１)
聖君がＡ地点からＢ地点まで進んだ様子を線分図に表すと次のようになっているので、まずは後半の③の距離にかかった時間を求めてみます。
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聖君は②の距離を進むのに１４分かかるので、①の距離を進むのにかかる時間は１４÷②＝７分、そして③の距離を進むのにかかる時間は７×③＝２１分になります。
したがって、聖君がＢ地点に着いたのは、Ａ地点を出発してから１４＋２１＝３５分後です。
(２)
もし光君も最初と同じ速さで進み続けた場合、聖君がＢ地点に着くまでの２１分間にどれだけ進めるのか(次の図の緑色の矢印)を考えてみます。
光君は⑨の距離を１４分で進むので、２１分間で進む距離を□とおくと、９：１４分＝□：２１分という比に表せます。
このとき、□は９×２１÷１４＝１３.５なので、残りの距離の比は１６－１３.５＝２.５になります(次の図)。
実際には、光君は進む速さを毎分８ｍアップさせているので、その分でさらに８×２１＝１６８ｍ進めたのですが、それでもＢ地点までまだ４２ｍ残っていました。
つまり次の図のように、１６８＋４２＝２１０ｍが比の２.５にあたることが分かります。
比の①にあたる距離は２１０÷２.５＝８４ｍ、Ａ地点からＢ地点までの距離の比は９＋１６＝２５なので、Ａ地点からＢ地点までの距離は８４×２５＝２１００ｍになります。
(３)
聖君は２１００ｍを３５分で進んだので、速さは２１００÷３５＝分速６０ｍになります。
学君も最初は分速６０ｍで進んでいたのですが、途中から６０＋１０＝分速７０ｍに変えた結果、聖君よりも１分早い３５－１＝３４分間でＡＢ間を進みました。
このとき、求めたいのは次の図の□分にあてはまる数なので、つるかめ算の公式を利用します。
もし３４分間すべてを分速７０ｍで進んだ場合の距離は、７０×３４＝２３８０ｍになります。
実際にはＡＢ間は２１００ｍなので、つるかめ算の公式にあてはめて上の図の□分を求めると、(２３８０－２１００)÷(７０－６０)＝２８分になります。
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