気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のように、水そうに２５０リットルの水が入っています。この水そうに、水道から毎分１０リットルの割合で水を入れます。また、水そうには排水口があり、水そうに３００リットルの水がたまるごとに毎分１８リットルの割合で、１５分間水が出ていきます。ただし、排水口から水が出ている間も、水道からは毎分１０リットルの割合で水を入れ続けます。このときの水そうの中の水の量の変化を調べました。グラフは水そうに水を入れ始めてからの時間と水そうの中の水の量の関係を表したものです。このとき、次の問いに答えなさい。
 
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(１)
グラフのア～エにあてはまる数を答えなさい。
 
(２)
水を入れ始めてから３時間の間に、水そうの中の水の量がもっとも少なくなるときは何回ありますか。
 
(３)
水を入れ始めてから３時間後の水そうの中の水の量は何リットルですか。
 
 
次に、水そうの中の水の量を２５０リットルに戻し、排水口から出す水の量だけを変えて、同じように水そうの中の水の量の変化を調べました。
 
(４)
５回目に水そうの中の水の量がもっとも少なくなるのは、水を入れ始めてから２時間５０分後です。排水口から出る水の量は毎分何リットルですか。
 
 
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(１)
次のグラフのアには、水道から毎分１０リットルずつ水を入れたとき、水そうに３００－２５０＝５０リットルの水を入れるのにかかる時間があてはまるので、答えは５０÷１０＝５(分)になります。
 
また、水そうに３００リットルの水がたまった後は、排水口から１５分間水が出て、水そうの水が減り続けるので、グラフのイには５＋１５＝２０(分)があてはまります。
 
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排水口からは毎分１８リットルずつ水が出ていきますが、その間も水道から毎分１０リットルずつ水が入ってきます。
 
つまり、排水口が開いている１５分間は、毎分１８－１０＝８リットルずつ水が減っていくので、１５分間で水そうから減る水の量は８×１５＝１２０リットルになります。
 
グラフのエには、排水口を１５分間使った後、水そうに残っている水の量があてはまるので、答えは３００－１２０＝１８０(リットル)です。
 
排水口を閉じた後は、水そうの水の量が再び毎分１０リットルずつ増え始めるので、さっきの１５分間で減った１２０リットルの水を入れるのにかかる時間は１２０÷１０＝１２分です。
 
グラフのウには、イから１２分後の時間があてはまるので、答えは２０＋１２＝３２(分)になります。
 
 
(２)
スタートから２０分後に初めて水そうの量が１８０リットルまで減った後は、次のグラフのように、
 
・排水口を閉じ、水そうの水が再び３００リットルに増えるまでの１２分間
・排水口を開き、水そうの水が再び１８０リットルに減るまでの１５分間
 
を繰り返すので、水そうの水の量は１２＋１５＝２７分ごとに１８０リットルまで減ります。






３時間＝１８０分から最初の２０分を除くと残りは１８０－２０＝１６０分、そして１６０÷２７＝５余り２５なので、答えは１＋５＝６回になります。
 
※　初めて１８０リットルになるのが２０分後。その後に１８０リットルになるのが５回あるので、全部で１＋５＝６回。
 
 
(３)
水そうの水の量が６回目に１８０リットルまで減るのは、スタートしてから２０＋２７×５＝１５５分後なので、３時間＝１８０分まで、あと１８０－１５５＝２５分間残っています。
 
次のグラフのように、その２５分間の前半には「排水口を閉じ、水そうの水が再び３００リットルに増えるまでの１２分間」があり、最後に残った２５－１２＝１３分間は、排水口を開いて毎分８リットルずつ水が減っていく時間帯です。









最後の１３分間で減る水の量は８×１３＝１０４リットルなので、スタートから３時間後、水そうには３００－１０４＝１９６リットルの水が入っています。
 
 
(４)
変えたのは排水口から出す水の量だけなので、
 
・水道から水そうの中に入る水の量は毎分１０リットルである。
・スタートから５分後に、水そうの水の量が初めて３００リットルまで増える。
・３００リットルまで増えた後は、排水口を１５分間開く。
・初めて水そうの水の量がもっとも少なくなるのは、スタートから５＋１５＝２０分後。
 
という４つの点に変化はありません。
 
２時間５０分＝１７０分から最初の２０分を除くと残りは１７０－２０＝１５０分で、その間に水そうの水の量がもっとも少なくなることが５－１＝４回あるはずです。
 
つまり次のグラフのように、スタートから２０分後に初めて水そうの水の量がもっとも少なくなった後は、１５０÷４＝３７.５分ごとに水そうの水の量がもっとも少なくなります。
 
また、その３７.５分のうち、排水口を開いているのは１５分間なので、排水口を閉じてからの３７.５－１５＝２２.５分間で、水そうの水の量は３００リットルまで増えることも分かります。

※　下のグラフの□にあてはまる時間が２２.５分。







排水口を閉じているときは、水そうへ毎分１０リットルずつ水が入るので、２２.５分間で入る水の量は１０×２２.５＝２２５リットルです。
 
つまり、水そうの水の量がいったん３００リットルになった後は、
 
・排水口を開いている１５分間→水そうの水の量は２２５リットル減る
・排水口を閉じてからの２２.５分間→水そうの水の量は２２５リットル増える
 
をひたすら繰り返しているので、排水口からは毎分２２５÷１５＝１５リットルの水が出ていきます、おしまい。
 
と言いたいところなのですが、排水口を開いている１５分間は、
 
・排水口から毎分□リットルの水が出ていく。
・水道からは毎分１０リットルの水が入り続けている。
・排水口から出ていく水の量の方が多いので、水そうの水は毎分１５リットルずつ減っていく。
 
という仕組みになっています。
 
つまり、排水口から出る「毎分□リットル」と水道から入る「毎分１０リットル」との差が毎分１５リットルなので、答えは１５＋１０＝毎分２５リットルになります。