気まぐれ解説カフェ(仮)

長さが３０㎝の線分ＡＢ上を２点Ｐ、Ｑが点Ａを同時に出発して、線分ＡＢ上を往復し続けます。Ｐ、Ｑが同時に出発してからの時間と、ＡＰの長さを実線で、ＡＱの長さを点線で表したものがグラフ１です。また、ＢＰの長さとＡＱの長さの差を表したものがグラフ２です。次の問いに答えなさい。
 
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(１)　アにあてはまる数はいくつですか。
 
(２)　イにあてはまる数はいくつですか。
 
(３)　ウにあてはまる数はいくつですか。
 
 
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(１)
次のグラフを見れば分かるように、この問題で求めたいのは、Ａから同時に出発した点ＰとＱが、直線ＡＢ上で３回目に出会うまでにかかった時間です。
 
また、点ＰとＱが初めて出会ったのは、２つの点がＡを出発してから６秒後であることもグラフから読み取れます。
 
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直線ＡＢ上で点ＰとＱが初めて出会うまでの様子を図に表すと次のようになります。
 
この図の矢印①の長さは直線ＡＢ１本分、そして矢印②と③の長さの合計も直線ＡＢ１本分になるので、点ＰとＱが初めて出会うまでに２つの点が進んだ距離の合計は、直線ＡＢの長さ２本分と等しいことが分かります。






１回目に出会った地点から、点ＰとＱが２回目に出会うまでの進み方を図に表すと次のようになります。
 
この図の矢印①と③の長さの合計、矢印②と④の長さの合計はどちらも直線ＡＢ１本分の長さになるので、点ＰとＱが１回目に出会った地点から２回目に出会うまでに進んだ距離も、直線ＡＢの長さ２本分と等しいことが分かります。





つまり、点ＰとＱは合わせて直線ＡＢ２本分の距離を進むごとに出会うので、３回目に出会うまでに進んだ距離の合計は、直線ＡＢの長さの２×３＝６本分になります。
 
点ＰとＱが合わせて直線ＡＢ２本分の距離を進み、初めて会うまでにかかった時間は６秒なので、３回目に出会ったのは、２つの点がスタートしてから６×３＝１８(秒後)になります。
 
 
(２)
この問題を解く下ごしらえとして、まずは点ＰとＱが直線ＡＢ上を進む速さをそれぞれ求めておきます。
 
次のグラフを見れば分かるように、Ａから同時にスタートした点ＰとＱが初めてＡへ同時に戻るまでに、点ＰはＡＢ間を３往復、そして点ＱはＡＢ間を２往復しています。
 
したがって、点ＰとＱの速さの比は３：２になります。








Ａを同時にスタートした点ＰとＱが、６秒後に初めて出会うまでに進んだ距離の合計は、次の図のようにＡＢの長さ２本分と等しいので３０×２＝６０㎝です。
 
また、２つの点が初めて出会うまでに進んだ距離の比は、速さの比と同じくＰ：Ｑ＝３：２なので、距離の合計である６０㎝を３：２に比例配分してみると、
 
・点Ｐが６秒間で進んだ距離→６０×５分の３＝３６㎝
・点Ｑが６秒間で進んだ距離→６０×５分の２＝２４㎝
 
となります。

したがって、点Ｐの速さは３６÷６＝秒速６㎝、点Ｑの速さは２４÷６＝秒速４㎝です。







次のグラフを見れば分かるように、この問題で求めたいのは「ＢＰとＡＱの長さの差が２回目にゼロとなるとき」であり、ストレートに２回目の時間を求めれば話はそれで終わりです。
 
ただ、それだと問題の仕組みがいまいち分からなくてスッキリしない人もいると思うので、まずは「ＢＰとＡＱの長さの差が初めてゼロとなるとき」がいつなのかを求めてみます。
 
※　そんなの不必要な人はスルー推奨。








【ＢＰとＡＱの長さの差が初めてゼロとなるとき】
 
Ａを同時にスタートした点ＰとＱが次の図のように進み、ＢＰの長さがＡＱの長さと等しくなったとき、ＢＰとＡＱの長さの差が初めてゼロになります。
 
また、この図で点ＰとＱが進んだ距離の比は３：２なので、ＱＰの長さは比の３－２＝１、そしてＢＰの長さはＡＱと同じく比の２と表せます。







つまり、上の図のＡＢの長さである３０㎝は比の２＋１＋２＝５にあたるので、比の１は３０÷５＝６㎝です。
 
上の図で秒速４㎝の点Ｑが進んだ長さ(比の２)は６×２＝１２㎝なので、ＢＰとＡＱの長さの差が初めてゼロとなるのは、２つの点がＡをスタートしてから１２÷４＝３秒後になります。
 
ただし、「初めてゼロになるのは３秒後」という情報は、２回目にゼロとなる時間を求める上で何の役にも立たないので、この作業は純粋に回り道です。
 
 
【ＢＰとＡＱの長さの差が２回目にゼロとなるとき】
 
点ＱがＡからＢまで進むのにかかる時間は３０÷４＝７.５秒、その間に点Ｐが進む距離は６×７.５＝４５㎝なので、点ＱがＢに到着したとき、点ＰはＢからＡへ向けて４５－３０＝１５㎝進んだ地点にいます。
 
また、そのときのＢＰは１５㎝、ＡＱは３０㎝なので、ＢＰとＡＱの長さの差は３０－１５＝１５㎝になっています。





点ＱがＢからＡへ向けて引き返し始めてからしばらくの間は、点ＰもＡへ向けて同じ方向に進んでいます。
 
その間、ＢＰの長さは毎秒６㎝ずつ長くなっていくのに対して、ＡＱの長さは逆に毎秒４㎝ずつ短くなっていきます。
 
さっきの図だと、点ＱがＢに着いたときはＡＱがＢＰよりも１５㎝長い状態でしたが、その差は１秒あたり６＋４＝１０㎝ずつ縮まっていくので、次の図のようにＢＰとＡＱの長さが等しくなるのは、点ＱがＢを出発してから１５÷１０＝１.５秒後です。




Ａを出発した点ＱがＢに到着するのは７.５秒後、そして上の図の状態になるのは点ＱがＢを出発してから１.５秒後なので、答えは７.５＋１.５＝９(秒後)になります。
 
 
(３)
次のグラフを見れば分かるように、ＢＰとＡＱの長さが２回目に等しくなった９秒後から、しばらくの間はＢＰとＡＱの長さの差がいったん増え始めますが、その差はウのときを境にして再び減っていきます。








２つの点がＡを出発してから９秒後、ＢＰとＡＱの長さは次の図のように等しくなっていますが、その後は点ＰがＡへ到着するまでは、ＢＰの長さは毎秒６㎝ずつ長くなる一方、ＡＱの長さは毎秒４㎝ずつ短くなるので、ＢＰとＡＱの長さの差は１秒間に６＋４＝１０㎝ずつ広がっていきます。
 
また、点ＰがＡからＢへ向けて反転し始めてからしばらく(点ＱがＡに到着するまで)は、ＢＰの長さは毎秒６㎝ずつ短く、ＡＱの長さは毎秒４㎝ずつ短くなるので、ＢＰとＡＱの長さの差は１秒間に６－４＝２㎝ずつ縮まっていきます。








つまり、スタートから９秒後を基準に考えたとき、点ＰがＡに着くまではＢＰとＡＱの長さの差が広がっていきますが、点ＰがＡに着いて反転してからはその差が少しずつ縮まっていくので、グラフのウは点ＰがＡＢ間をちょうど１往復したときのＢＰとＡＱの長さの差を表していることが分かります。

そこで、点ＰがＡＢ間の１往復を完了した３０×２÷６＝１０秒後のＢＰとＡＱの長さを調べてみると、
 
・ＢＰ→点ＰはＡにいるので、ＢＰの長さはＡＰと同じく３０㎝
・ＡＱ→点Ｑは４×１０＝４０㎝進んだので、ＡＱの長さは３０×２－４０＝２０㎝
 
となっています。
 
以上から、グラフのウにあてはまるＢＰとＡＱの長さの差は、３０－２０＝１０(㎝)になります。


【どうでもいい感想】

ぐだぐだと回り道をしたとはいえ、作成した図が14個とか(笑)

どう考えても解説の作成がめんどくさそうだったからこの問題はスルーしようと思ったけど、気分がのった日に「とりゃ！」という感じで一気に完成させました。