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2011

攻玉社2011【5】の(1) ☆立体図形・立方体を平面で切断したときの体積と表面積☆


次の図は、1辺が10㎝の立方体ABCD-EFGHです。辺EFの中点と辺FGの中点、さらに頂点Cを通る平面でこの立方体を2つの立体に切り分けたとき、大きいほうの立体について、次の①・②を求めなさい。
 
① 体積  ② 断面積を除いた表面積
 
※ 画像はクリックすると拡大します。


kogyo5-101.png













※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!


 



立方体の辺EFの中点をI、辺FGの中点をJとして、辺IJに下からナイフの刃を当てて、点Cを通過するように上へスパッと突き抜けたとき、切断面は次の図のような台形IJCAになります。
 
求めたいのは切断後にできた2つの立体のうち、点Dを含む大きな立体の体積ですが、それを直接計算しようとするとうまくいかないので、立方体の体積から点Bを含む小さな立体の体積を引いて答えを求めます。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


kogyo5-102.png













次の図のように、辺AIとCJとBFの3本を下へ向けて延長すると点Kで交わり、小さな三角すいKFJI大きな三角すいKBCAができます。
 
三角すいKFJIは底面がIF=FJ=5㎝の直角二等辺三角形、三角すいKBCAは底面がAB=BC=10㎝の直角二等辺三角形になっていますが、どちらの三角すいも高さはまだ分かっていません。


kogyo5-103.png













次の図の三角形KIFとKABは内角の関係から相似であり、長さの比はIF:AB=5㎝:10㎝=1:2です。
 
つまり、三角形KIFの高さにあたる辺FKと、三角形KABの高さにあたる辺BKの長さの比も1:2なので、辺BFの長さは比の2-1=1になります。


kogyo5-104.png













上の図の辺BFはもともと立方体の1辺なので、長さは10㎝です。
 
つまり、比の1は10㎝なので、辺FKの長さはBFと同じく10㎝、そして辺BKの長さは比の2なので10×2=20㎝です。
 
これまでに分かったことをもとにして、三角すいKFJIと三角すいKBCAの体積をそれぞれ求めてみると、
 
・三角すいKFJI→5×5÷2×10÷3=3分の125㎤
・三角すいKBCA→10×10÷2×20÷3=3分の1000㎤
 
となるので、切断後にできた2つの立体のうち、点Bを含む小さな立体の体積は、3分の1000-3分の125=3分の875㎤です。
 
1辺10㎝の立方体の体積は10×10×10=1000㎤なので、切断後にできた2つの立体のうち、点Dを含む大きな立体の体積は1000-3分の875=3分の2125㎤になります。
 
 

1辺10㎝の立方体の表面積である10×10×6=600㎠から、次の図の
 
・立方体の真上にある三角形ABC
・立方体の底面にある三角形IFJ
・立方体の正面にある台形AIFB
・立方体の右側にある台形BFJC
 
の4つの面積を引けば、点Dを含む大きな立体の表面積(ただし断面積を除く)が求められます。


kogyo5-105.png







上の図の三角形ABC、三角形IFJ、台形AIFB、台形BFJCの面積をそれぞれ求めてみると、
 
・三角形ABC→10×10÷2=50㎠
・三角形IFJ→5×5÷2=12.5㎠
・台形AIFB→(10+5)×10÷2=75㎠
・台形BFJC→(10+5)×10÷2=75㎠
 
となるので、4つの面積の合計は50+12.5+75+75=212.5㎠です。
 
以上から、点Dを含む大きな立体の表面積(ただし断面積を除く)は600-212.5=387.5㎠になります。





 
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