気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図は、１辺が１０㎝の立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨです。辺ＥＦの中点と辺ＦＧの中点、さらに頂点Ｃを通る平面でこの立方体を２つの立体に切り分けたとき、大きいほうの立体について、次の①・②を求めなさい。
 
①　体積　　②　断面積を除いた表面積
 
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①
立方体の辺ＥＦの中点をＩ、辺ＦＧの中点をＪとして、辺ＩＪに下からナイフの刃を当てて、点Ｃを通過するように上へスパッと突き抜けたとき、切断面は次の図のような台形ＩＪＣＡになります。
 
求めたいのは切断後にできた２つの立体のうち、点Ｄを含む大きな立体の体積ですが、それを直接計算しようとするとうまくいかないので、立方体の体積から点Ｂを含む小さな立体の体積を引いて答えを求めます。
 
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次の図のように、辺ＡＩとＣＪとＢＦの３本を下へ向けて延長すると点Ｋで交わり、小さな三角すいＫＦＪＩと大きな三角すいＫＢＣＡができます。
 
三角すいＫＦＪＩは底面がＩＦ＝ＦＪ＝５㎝の直角二等辺三角形、三角すいＫＢＣＡは底面がＡＢ＝ＢＣ＝１０㎝の直角二等辺三角形になっていますが、どちらの三角すいも高さはまだ分かっていません。















次の図の三角形ＫＩＦとＫＡＢは内角の関係から相似であり、長さの比はＩＦ：ＡＢ＝５㎝：１０㎝＝１：２です。
 
つまり、三角形ＫＩＦの高さにあたる辺ＦＫと、三角形ＫＡＢの高さにあたる辺ＢＫの長さの比も１：２なので、辺ＢＦの長さは比の２－１＝１になります。















上の図の辺ＢＦはもともと立方体の１辺なので、長さは１０㎝です。
 
つまり、比の１は１０㎝なので、辺ＦＫの長さはＢＦと同じく１０㎝、そして辺ＢＫの長さは比の２なので１０×２＝２０㎝です。
 
これまでに分かったことをもとにして、三角すいＫＦＪＩと三角すいＫＢＣＡの体積をそれぞれ求めてみると、
 
・三角すいＫＦＪＩ→５×５÷２×１０÷３＝３分の１２５㎤
・三角すいＫＢＣＡ→１０×１０÷２×２０÷３＝３分の１０００㎤
 
となるので、切断後にできた２つの立体のうち、点Ｂを含む小さな立体の体積は、３分の１０００－３分の１２５＝３分の８７５㎤です。
 
１辺１０㎝の立方体の体積は１０×１０×１０＝１０００㎤なので、切断後にできた２つの立体のうち、点Ｄを含む大きな立体の体積は１０００－３分の８７５＝３分の２１２５㎤になります。
 
 
②
１辺１０㎝の立方体の表面積である１０×１０×６＝６００㎠から、次の図の
 
・立方体の真上にある三角形ＡＢＣ
・立方体の底面にある三角形ＩＦＪ
・立方体の正面にある台形ＡＩＦＢ
・立方体の右側にある台形ＢＦＪＣ
 
の４つの面積を引けば、点Ｄを含む大きな立体の表面積(ただし断面積を除く)が求められます。









上の図の三角形ＡＢＣ、三角形ＩＦＪ、台形ＡＩＦＢ、台形ＢＦＪＣの面積をそれぞれ求めてみると、
 
・三角形ＡＢＣ→１０×１０÷２＝５０㎠
・三角形ＩＦＪ→５×５÷２＝１２.５㎠
・台形ＡＩＦＢ→(１０＋５)×１０÷２＝７５㎠
・台形ＢＦＪＣ→(１０＋５)×１０÷２＝７５㎠
 
となるので、４つの面積の合計は５０＋１２.５＋７５＋７５＝２１２.５㎠です。
 
以上から、点Ｄを含む大きな立体の表面積(ただし断面積を除く)は６００－２１２.５＝３８７.５㎠になります。