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12/05

Mon

2011

大妻2011【10】 ☆数の性質・6で割ったときの余りを基準に数を並べた図☆


次の図のように、時計回りに「1、2、3、・・・」と整数を並べます。
 
※ 画像はクリックすると拡大します。


de688ea3.png













(1)
555はA列からF列のうち、どの列に入りますか。
 
(2)
整数を並べるのを途中でやめたとき、B列の中の数の和とE列の中の数の和との差が362になりました。B列に入っている数の中で最大の整数を求めなさい。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!


 


(1)
まずはA列からF列に並ぶ数の特徴をそれぞれ確認しておくと、
 
・A列→6で割ると1余る数
・B列→6で割ると2余る数
・C列→6で割ると3余る数
・D列→6で割ると4余る数
・E列→6で割ると5余る数
・F列→6で割り切れる数
 
となっています。
 
555÷6=92余り3なので、555はC列に入ります。
 
 
(2)
まずはB列とE列の数を適当なところまで並べてみると、
 
・B列→2、8、14、20、26、32、・・・
・E列→5、11、17、23、29、35、・・・
 
となっています。
 
つまり次の図のように、E列の数はB列の数よりも常に3ずつ大きいので、もし「B→E」や「B→E→B→E」などのように、2つの列の数が同じ個数だけ並んでいれば、E列の数の和とB列の数の和との差は3の倍数になっているはずです。

※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


3a692b25.png


しかし、E列の数の和とB列の数の和との差である「362」は3の倍数ではないので、たとえば「B→E→B」や「B→E→B→E→B」などのように、B列の数が1個多い状態で終わったことが分かります。
 
そこで、次の図のようにB列の数が1個多い状態で終わった場合、B列の数の和とE列の数の和との差がどのように変わっていくのかを調べてみると、
 
・B列の1個目で終わった場合→B列の合計は2、E列の合計は0なので、差は2
・B列の2個目で終わった場合→B列の合計は10、E列の合計は5なので、差は5
・B列の3個目で終わった場合→B列の合計は24、E列の合計は16なので、差は8
 
のように、最初の差である「2」から3ずつ増えていくことが分かります。


1f482846.png












(362-2)÷3=120なので、B列の数の和とE列の数の和との差が362になるのは、B列の数が1+120=121番目まで並んだときです。
 
※ つまり、B列の数が121番目、E列の数は120番目まで並んだとき。
 
B列の数は、最初の「2」から6ずつ増えていくので、121番目の数は2+6×120=722になります。




 
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