気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のように、時計回りに「１、２、３、・・・」と整数を並べます。
 
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(１)
５５５はＡ列からＦ列のうち、どの列に入りますか。
 
(２)
整数を並べるのを途中でやめたとき、Ｂ列の中の数の和とＥ列の中の数の和との差が３６２になりました。Ｂ列に入っている数の中で最大の整数を求めなさい。
 
 
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(１)
まずはＡ列からＦ列に並ぶ数の特徴をそれぞれ確認しておくと、
 
・Ａ列→６で割ると１余る数
・Ｂ列→６で割ると２余る数
・Ｃ列→６で割ると３余る数
・Ｄ列→６で割ると４余る数
・Ｅ列→６で割ると５余る数
・Ｆ列→６で割り切れる数
 
となっています。
 
５５５÷６＝９２余り３なので、５５５はＣ列に入ります。
 
 
(２)
まずはＢ列とＥ列の数を適当なところまで並べてみると、
 
・Ｂ列→２、８、１４、２０、２６、３２、・・・
・Ｅ列→５、１１、１７、２３、２９、３５、・・・
 
となっています。
 
つまり次の図のように、Ｅ列の数はＢ列の数よりも常に３ずつ大きいので、もし「Ｂ→Ｅ」や「Ｂ→Ｅ→Ｂ→Ｅ」などのように、２つの列の数が同じ個数だけ並んでいれば、Ｅ列の数の和とＢ列の数の和との差は３の倍数になっているはずです。

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しかし、Ｅ列の数の和とＢ列の数の和との差である「３６２」は３の倍数ではないので、たとえば「Ｂ→Ｅ→Ｂ」や「Ｂ→Ｅ→Ｂ→Ｅ→Ｂ」などのように、Ｂ列の数が１個多い状態で終わったことが分かります。
 
そこで、次の図のようにＢ列の数が１個多い状態で終わった場合、Ｂ列の数の和とＥ列の数の和との差がどのように変わっていくのかを調べてみると、
 
・Ｂ列の１個目で終わった場合→Ｂ列の合計は２、Ｅ列の合計は０なので、差は２
・Ｂ列の２個目で終わった場合→Ｂ列の合計は１０、Ｅ列の合計は５なので、差は５
・Ｂ列の３個目で終わった場合→Ｂ列の合計は２４、Ｅ列の合計は１６なので、差は８
 
のように、最初の差である「２」から３ずつ増えていくことが分かります。














(３６２－２)÷３＝１２０なので、Ｂ列の数の和とＥ列の数の和との差が３６２になるのは、Ｂ列の数が１＋１２０＝１２１番目まで並んだときです。
 
※　つまり、Ｂ列の数が１２１番目、Ｅ列の数は１２０番目まで並んだとき。
 
Ｂ列の数は、最初の「２」から６ずつ増えていくので、１２１番目の数は２＋６×１２０＝７２２になります。