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気まぐれ解説カフェ(仮)

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08/02

Mon

2010

鎌倉女学院2010【2】の(3) ☆平面図形・面積を2等分する直線☆

辺の長さの比が2:1である正方形を並べた図形があります。次の図のように直線Lをひくと、この図形の面積は2等分されます。
 
※ 画像はクリックすると拡大します。

kamaj2-301.png







このとき、大きい正方形の一辺の長さは(  )㎝です。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!

 


次の図の青い直線Lが、緑色とオレンジ色の正方形をそれぞれ2つの合同な台形となるように切り分けたとき、AとCの面積の合計とBとDの面積の合計が等しくなります。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。

kamaj2-302.png








上の図の辺クイの長さは7㎝なので、あとは辺アクの長さが分かれば緑色の正方形の一辺の長さが求められます。
 
 
また、台形Aの辺アクの長さは台形Bの辺ケウの長さと等しいので、まずは辺ケウの長さを求めてみます。


【作業その1 緑色の正方形を切り分ける】
 
下の図の青い直線Lは、一辺の長さが②の正方形を左上から右下へと斜めにスパッと切断し、合同な2つの台形AとBに切り分けています。

この後、直線Lはそのままの角度でオレンジ色の正方形へ突入します。

k1.png












【作業2 オレンジ色の正方形を切り分ける】
 
緑色の正方形を通過した直線Lは、そのままの角度でオレンジ色の正方形へ突入し、こちらも次の図のように合同な2つの台形CとDを作り出します。

k2.png










この2つの作業で行われたことを振り返ってみると・・・
 
・どちらも正方形を同じ角度の直線で切断し、2つの合同な台形に切り分けた。
・緑色の正方形は、オレンジ色の正方形に比べて一辺の長さが2倍である。
 

ことから、下の図の台形Bは台形Dを2倍に拡大したものであることが分かります。

k3.png






つまり、上の図の辺クイの長さは辺ケウの2倍なので、辺ケウの長さは7÷2=3.5㎝になります。
 
また、次の図の辺ケウの長さが3.5㎝なら、辺アクの長さもそれと同じく3.5㎝になるので、大きい正方形の一辺の長さは3.5+7=10.5㎝になります。

kamaj2-304.png












【お詫びと訂正】
 
えー、詳しくはコメント欄を読んでいただければ分かるのですが、以前掲載していた解説に、
 
「台形Bと台形Dは内角がすべて等しいから相似です(キリッ)」
 
みたいな表現がございました。
 
でもそんなのは明らかに大ウソなので、上記解説の内容を一部修正させていただきました。
 
 
【台形は内角がすべて等しくても相似にならないことの確認】
 
たとえば下の図の台形ABCDを、辺ADと辺BCに平行な赤い線で2つに切り分けたとします。
 
その場合、赤い線の上にできる台形アと下にできる台形イは4つの内角がすべて等しいのですが・・・

k4.png









切り分けた2つの台形を下の図のように並べてみると、台形アは縦長、台形イは横長になっていることからも分かる通り、こんなの相似でもなんでもありません(泣)

k5.png





いやはや、ホントに軽はずみな間違いで申し訳ございませんでした。
 
懺悔の意味をこめて、ちょっとナイアガラの滝に打たれて修行してきます・・・
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Comment

無題

  • はじめまして。
  • 2010-08-16 12:16
  • edit
台形の場合、4つの角が等しくても相似とは限りませんよ~

はわわー!

  • ゆんたく
  • 2010-08-16 13:19
  • edit
わー、ホントだ!

台形は高さをびよーんとのばしても内角が変わらないですもんね(泣)

「こんなの見るからに相似じゃん」なんて軽いノリでサクサク解説を作っちゃうからこういうミスをしちゃうんだよなー、と反省しつつ、「ちんすこうショコラ」をパクパク食べてる今日この頃です。

んー、説明の仕方をちょっと再考してみるです。

というわけで、わざわざご指摘いただきありがとうございましたm(_ _)m

無題

  • はじめまして。
  • 2010-08-17 00:21
  • edit
こちらこそわざわざ丁寧に返答していただきありがとうです。

ちんすこう美味しいですよね(笑)、僕も好きです☆

実力派のブログですよね。更新頑張ってください、応援してます。

いやいや・・・

  • ゆんたく
  • 2010-08-17 06:54
  • edit
私は単なる旅の途中の隠居なので、実力派には程遠いです(笑)

実際の話、私より解説が上手だったり経験が豊富な人はいくらでもいると思うので、そういう人たちがウィキペディアみたいな感じで受験問題の解説とか各教科の解法なんかを編集できたらおもしろいんじゃないかなー、と思ってみたりします。

無題

  • NONAME
  • 2011-01-14 04:13
  • edit
何度もコメントしてすみません。

これ、問題条件が明らかに足らない気がします。

状況から見て、Lは2つの正方形の中心を両方通っていったように図は描いてありますが、

例えば、左の辺が上下7:5に分かれるように取った点からまっすぐ右にLを引いても、面積は二等分されます。

「両方の正方形の面積が二等分された」でなければ、これは解けないのではないでしょうか?
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