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12/01

Thu

2011

白百合2011【6】 ☆ベン図・比とベン図を利用して生徒数を求める☆

ある学校で、今年の夏に海や山に行った生徒の数を、全校生徒にアンケートをとり調べてみました。その結果、海に行った人と山に行った人の人数の比は9:7で、海にも山にも行った人数とどちらにもいかなかった人数は同じでした。
 
さらに昨年の結果と比べると、今年よりも昨年の方が海に行った人は2割多く、山に行った人は2割少ないのですが、海や山に行った人数(両方行った人も含みます)は昨年と変わりませんでした。また、昨年よりも今年の方が、海にも山にも行った人は14人少なく、どちらにも行かなかった人は8人多かったです。
 
(1) 今年の夏に海へ行った生徒は何人ですか。
 
(2) この学校の今年の全校生徒は何人ですか。
 
(3) この学校の昨年の全校生徒は何人ですか。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!




(1)
今年の夏に海へ行った人の人数は比の9で、昨年の夏に海へ行った人はそれよりも2割多いので、昨年の夏に海へ行った人の人数は、比の9×1.2=10.8と表せます。
 
また、今年の夏に山へ行った人の人数は比の7で、昨年の夏に山へ行った人はそれよりも2割少ないので、昨年の夏に山へ行った人の人数は、比の7×0.8=5.6と表せます。
 
夏に海や山へ行った生徒の分布を、次のように「今年の夏」と「昨年の夏」の2つに分けてベン図に表してみると、
 
・今年の夏に海へ行った生徒(比の9)→図のアイ
・今年の夏に山へ行った生徒(比の7)→図のイウ
・昨年の夏に海へ行った生徒(比の10.8)→図のオカ
・昨年の夏に山へ行った生徒(比の5.6)→図のカキ
 
となります。
 
また、問題文に「(今年の夏は)海にも山にも行った人数とどちらにもいかなかった人数は同じ」とあるので、図のイとエは同じ人数であることも分かります。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


sira601.png






問題文に「海や山に行った人数は昨年と変わりませんでした」とあるので、上の図の「アイウ」と「オカキ」の人数は同じです。
 
また、「昨年よりも今年の方が、海にも山にも行った人は14人少なく、どちらにも行かなかった人は8人多かった」とあるので、
 
・上の図のイはカよりも14人少ない
・上の図のエはクよりも8人多い
 
ということも分かります。
 
上の図の「アイ+イウ」は比の9+7=16、「オカ+カキ」は比の10.8+5.6=16.4なので、その差は16.4-16=0.4です。
 
また、「アイイウ」を「アイウ」、「オカカキ」を「オカキ」のように分け、その2つを次のような線分図に表して比べてみたとき、この図の「アイウ」と「オカキ」の人数は同じなので、比の差である0.4は、イとカの人数差である14人にあたることが分かります。


sira602.png






比の0.4が14人なら、比の1は14÷0.4=35人なので、今年の夏に海へ行った生徒(比の9)は、35×9=315人になります。
 
 
(2)
今年の夏に海へ行った生徒は315人、そして今年の夏に山へ行った生徒(比の7)は35×7=245人なので、ベン図の「アイ+イウ」は315+245=560人になります。
 
「アイイウ」をさっきと同じように「アイウ」と分け、次のような線分図に表してみたとき、イとエの人数は同じなので、「アイウエ」と「アイウ+イ」の人数は等しいことが分かります。


sira603.png






この問題で求めたい「この学校の今年の全校生徒の人数」はベン図の「アイウエ」にあてはまる人数のことなので、答えは560人になります。
 
 
(3)
これまでに確認した条件のうち、
 
・ベン図のイはカよりも14人少ない
・ベン図のエはクよりも8人多い
・ベン図のイとエの人数は同じ
 
という3つをもとにして、イ、カ、エ、クの大きさの関係を線分図に表すと次のようになります。


sira604.png








上の図を見れば分かるように、エはカよりも14人少なく、クはエよりも8人少ないので、クはカよりも14+8=22人少ないです。
 
昨年の夏に海へ行った生徒(比の10.8)は35×10.8=378人、昨年の夏に山へ行った生徒(比の5.6)は35×5.6=196人なので、ベン図の「オカ+カキ」は378+196=574人になります。
 
「オカカキ」を「オカキ」と分け、「オカキク」と並べて2本の線分図に表してみると次のような図になります。


sira605.png




上の図のクはカよりも22人少ないので、「オカキク」の人数は「オカキ+カ」の人数から22人を引けば求められます。
 
この問題で求めたい「この学校の昨年の全校生徒の人数」はベン図の「オカキク」にあてはまる人数のことなので、答えは574-22=552人になります。





 
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