気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図は１辺が６㎝の立方体です。点Ｐ、Ｑはそれぞれ辺ＡＢ、ＢＣの真ん中の点です。あとの問いに答えなさい。
 
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(１)
３つの点Ｐ、Ｑ、Ｆを通る平面でこの立体を切ったとき、頂点Ｄを含むほうの立体の体積を答えなさい。
 
(２)
４つの点Ｐ、Ｅ、Ｇ、Ｑを通る平面でこの立方体を切ったとき、図１のような立体が切り取られました。この立体の体積を、式を書いて求めなさい。















(３)
(１)のように切ったとき、できた三角すいの展開図は図２のようになりました。これを参考にして、頂点Ｄを含むほうの立体の表面積を求めなさい。














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(１)
次の図の１辺６㎝の立方体の体積から、黄色い三角すいＦＢＰＱの体積を取り除くと、頂点Ｄを含む青い立体の体積を求めることができます。
 
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上の図の三角形ＰＢＱはＰＢ＝ＱＢ＝３㎝の直角二等辺三角形で、辺ＢＦの長さは６㎝なので、黄色い三角すいＦＢＰＱの体積は３×３÷２×６÷３＝９㎤です。
 
※　三角すいの体積＝底面積×高さ÷３
 
また、１辺６㎝の立方体の体積は６×６×６＝２１６㎤なので、頂点Ｄを含む青い立体の体積は２１６－９＝２０７㎤になります。
 
 
(２)
次の図のように、辺ＧＱ、ＥＰ、ＦＢをそれぞれ上へ向けて延長すると、その３本の直線は点Ｒで交わります。
 
そのとき、青い立体ＰＢＱＥＦＧの上には三角すいＲＰＢＱができるとともに、ＲＥＦＧも三角すいになります。















さっきの立体を、次の図のように三角形ＲＰＢとＲＥＦが正面に来るように見てみると、ＲＰＢとＲＥＦは内角がすべて等しいので相似であり、長さの比はＰＢ：ＥＦ＝３㎝：６㎝＝１：２です。
 
つまり、三角形ＲＰＢとＲＥＦの高さにあたる辺ＰＢとＰＦの長さの比も１：２なので、辺ＢＦの長さはＰＢと同じく比の２－１＝１と表せます。















上の図の辺ＲＢの長さはＢＦと同じく６㎝であることが分かったので、三角すいＲＰＢＱとＲＥＦＧの体積をそれぞれ求めてみると、
 
・三角すいＲＰＢＱ→３×３÷２×６÷３＝９㎤
・三角すいＲＥＦＧ→６×６÷２×１２÷３＝７２㎤
 
となることから、青い立体ＰＢＱＥＦＧの体積は７２－９＝６３㎤です。
 
 
(３)
次の図のように、立方体を面ＦＰＱで切断すると、切断する前に比べて、
 
・三角形ＰＢＱ、ＰＢＦ、ＱＢＦがなくなるので、その分だけ表面積は減る
・新たに三角形ＦＰＱができるので、その分だけ表面積は増える
 
という変化が起きます。










次の図は、三角すいＦＢＰＱの展開図を表しています。
 
この図の三角形ＰＢＱの面積は３×３÷２＝４.５㎠、ＰＢＦとＱＢＦの面積はどちらも６×３÷２＝９㎠、そして１辺６㎝の正方形の面積は６×６＝３６㎠なので、三角形ＦＰＱの面積は３６－(４.５＋９＋９)＝１３.５㎠です。













１辺６㎝の立方体の表面積は６×６×６＝２１６㎤、三角形ＰＢＱとＰＢＦとＱＢＦの面積は合わせて４.５＋９＋９＝２２.５㎠、そして三角形ＦＰＱの面積は１３.５㎠なので、立方体を切断後の頂点Ｄを含むほうの立体の表面積は、２１６－２２.５＋１３.５＝２０７㎠になります。