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12/07

Wed

2011

湘南白百合2011【5】 ☆立体図形・立方体を切断してできる立体の体積や表面積☆


次の図は1辺が6㎝の立方体です。点P、Qはそれぞれ辺AB、BCの真ん中の点です。あとの問いに答えなさい。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


syosi501.png













(1)
3つの点P、Q、Fを通る平面でこの立体を切ったとき、頂点Dを含むほうの立体の体積を答えなさい。
 
(2)
4つの点P、E、G、Qを通る平面でこの立方体を切ったとき、図1のような立体が切り取られました。この立体の体積を、式を書いて求めなさい。


syosi502.png













(3)
(1)のように切ったとき、できた三角すいの展開図は図2のようになりました。これを参考にして、頂点Dを含むほうの立体の表面積を求めなさい。


syosi503.png












※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!





 


(1)
次の図の1辺6㎝の立方体の体積から、黄色い三角すいFBPQの体積を取り除くと、頂点Dを含む青い立体の体積を求めることができます。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


syosi504.png













上の図の三角形PBQはPB=QB=3㎝の直角二等辺三角形で、辺BFの長さは6㎝なので、黄色い三角すいFBPQの体積は3×3÷2×6÷3=9㎤です。
 
※ 三角すいの体積=底面積×高さ÷3
 
また、1辺6㎝の立方体の体積は6×6×6=216㎤なので、頂点Dを含む青い立体の体積は216-9=207㎤になります。
 
 
(2)
次の図のように、辺GQ、EP、FBをそれぞれ上へ向けて延長すると、その3本の直線は点Rで交わります。
 
そのとき、青い立体PBQEFGの上には三角すいRPBQができるとともに、REFGも三角すいになります。


syosi505.png













さっきの立体を、次の図のように三角形RPBとREFが正面に来るように見てみると、RPBとREFは内角がすべて等しいので相似であり、長さの比はPB:EF=3㎝:6㎝=1:2です。
 
つまり、三角形RPBとREFの高さにあたる辺PBとPFの長さの比も1:2なので、辺BFの長さはPBと同じく比の2-1=1と表せます。


syosi506.png













上の図の辺RBの長さはBFと同じく6㎝であることが分かったので、三角すいRPBQとREFGの体積をそれぞれ求めてみると、
 
・三角すいRPBQ→3×3÷2×6÷3=9㎤
・三角すいREFG→6×6÷2×12÷3=72㎤
 
となることから、青い立体PBQEFGの体積は72-9=63㎤です
 
 
(3)
次の図のように、立方体を面FPQで切断すると、切断する前に比べて、
 
三角形PBQ、PBF、QBFがなくなるので、その分だけ表面積は減る
・新たに三角形FPQができるので、その分だけ表面積は増える
 
という変化が起きます。


syosi507.png








次の図は、三角すいFBPQの展開図を表しています。
 
この図の三角形PBQの面積は3×3÷2=4.5㎠、PBFとQBFの面積はどちらも6×3÷2=9㎠、そして1辺6㎝の正方形の面積は6×6=36㎠なので、三角形FPQの面積は36-(4.5+9+9)=13.5㎠です。


syosi508.png











1辺6㎝の立方体の表面積は6×6×6=216㎤、三角形PBQとPBFとQBFの面積は合わせて4.5+9+9=22.5㎠、そして三角形FPQの面積は13.5㎠なので、立方体を切断後の頂点Dを含むほうの立体の表面積は、216-22.5+13.5=207㎠になります。



 
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