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12/03

Sat

2011

横浜共立2011【4】 ☆図形の移動・おうぎ形のまわりを円が転がる問題☆


半径6㎝、中心角270度のおうぎ形があります。次の図のように、半径2㎝の円が、おうぎ形のまわりを矢印の方向におうぎ形に接しながら1周して、元の位置に戻ります。次の(  )にあてはまる数を求めなさい。ただし、円周率は3.14とします。
 
※ 画像はクリックすると拡大します。


11yokyo401.png













(1)
おうぎ形の周のうち、円と接することができる部分の長さは(  )㎝です。
 
(2)
円の中心が動いてできる線の長さは(  )㎝です。
 
(3)
円が通ったあとにできる図形の面積は(  )㎠です。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!


 


(1)
半径2㎝の円が、次の図のように半径6㎝で中心角270度のおうぎ形のまわりを転がりながら1周するとき、円と接する部分は、
 
・図の青い曲線→半径6㎝で中心角270度のおうぎ形の弧
・図の緑色の直線(2本)→どちらも長さは6-2=4㎝
 
の2種類に分けることができます。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


11yokyo402.png













半径6㎝で中心角270度のおうぎ形の弧の長さは6×2×3.14×360分の270=28.26㎝、そして長さ4㎝の直線2本分の長さは4×2=8㎝です。
 
したがって、円と接する部分の長さの合計は28.26+8=36.26㎝になります。
 
 
(2)
半径2㎝の円が、次の図のようにおうぎ形のまわりを転がりながら1周するとき、円の中心が通ってできた線は、
 
・図の青い曲線→半径が6+2=8㎝で、中心角270度のおうぎ形の弧
・図のオレンジ色の曲線(2本)→半径が2㎝で中心角90度のおうぎ形の弧
・図の緑色の直線(2本)→どちらも長さは6-2=4
 
の3種類に分けることができます。


11yokyo403.png












半径が8㎝で中心角270度のおうぎ形の弧の長さは8×2×3.14×360分の270=37.68㎝、半径が2㎝で中心角90度のおうぎ形の弧2本分の長さは2×2×3.14×360分の90×2=6.28㎝、そして長さ4㎝の直線2本分の長さは4×2=8㎝です。
 
したがって、円の中心が動いてできる線の長さは全部で37.68+6.28+8=51.96㎝になります。
 
 
(3)
おうぎ形のまわりを、次の図のように半径2㎝の円が通過した部分の面積は、図の「青い食べかけのドーナツ」「オレンジ色のおうぎ形2個」「緑色のL字型の図形」の面積の合計から、中心Oの近くにある「小さな紫色の部分」の面積を引けば求められます。


11yokyo404.png













上の図の「青い食べかけのドーナツ」の面積は、半径が6+4=10㎝で中心角270度のおうぎ形の面積から、半径が6㎝で中心角270度のおうぎ形の面積を引けば求められるので、10×10×3.14×360分の270-6×6×3.14×360分の270=150.72㎠になります。
 
また、オレンジ色のおうぎ形2個は、どちらも半径が4㎝で中心角が90度なので、その面積の合計は4×4×3.14×360分の90×2=25.12㎠です。
 
次の図は、おうぎ形の中心Oの右上にある緑色と紫色の部分を拡大したときの様子を表しています。


11yokyo405.png











この図のL字型をした多角形AOBCDEの面積は、1辺6㎝の正方形の面積から1辺2㎝の正方形の面積を引けば求められるので、6×6-2×2=32㎠です。
 
また、紫色の部分は1辺2㎝の正方形の面積から、半径2㎝で中心角90度のおうぎ形の面積を引けば求められるので、2×2-2×2×3.14×360分の90=0.86㎠です。
 
したがって、上の図で円が通過する部分の面積は、32-0.86=31.14㎠になります。
 
これまでに分かったことをまとめると、
 
・「青い食べかけのドーナツ」の面積→150.72㎠
・「オレンジ色のおうぎ形2個」の面積→25.12㎠
・「L字型の図形」の中で、円が通過する部分の面積→31.14㎠
 
なので、円が通過する部分の面積の合計は150.72+25.12+31.14=206.98㎠になります。






 
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