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Sat

2011

実践女子2011【4】 ☆公倍数の利用・注水と排水を行ってタンクを満水にする☆


100リットル入るタンクがあり、初め8リットルの水が入っています。次の図1のように管Aからタンクに水が入り、管Bから水が出ます。管Aは3分間開いた後3分間閉じる動作を繰り返し、管Bは2分間開いた後2分間閉じる動作を繰り返します。図2のグラフは、管A、管Bを同時に開いてからの時間とタンクに入っている水の量の関係を表しています。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


11jissen401.png













11jissen402.png














管Aが開いているとき、管Aから出る水の量は毎分何リットルですか。
 

タンクが初めて水でいっぱいになるのは何分後ですか。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!



 



管Aは「3分開いて3分閉じる」、管Bは「2分開いて2分閉じる」の繰り返しなので、スタートから5分間の管AとBの動きを表にすると、次のようになります。

※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。

11jissen403.png



 
この表から、
 
・0~2分→両方の管を開いているので、タンクの水量はゆるやかに増える
・2~3分→管Aだけが開いているので、タンクの水量は急激に増える
・3~4分→どちらの管も閉じているので、タンクの水量は変わらない。
・4~5分→管Bだけが開いているので、タンクの水量は減る
 
ことが分かります。
 

さっき分かったことをもとにして、スタートから5分間のタンクの水量をグラフに表すと次のようになるので、管Bから5-4=1分間に出る水の量は22-17=5リットルになります。
 
また、最初の3分間は、管Aから水が毎分□リットルの割合で3分間入り、管Bから水が毎分5リットルの割合で2分間排出され、結果としてタンクの水量は22-8=14リットル増えたことが分かります。


11jissen404.png











つまり、管Aから3分間にタンクへ注がれた水の量は14+5×2=24リットルなので、1分間あたりの水量は24÷3=8リットルになります。
 
 

タンクには最初に8リットルの水が入っているので、水量が100-8=92リットル増えたときにタンクは満水となります。
 
 
管Aは「3分開いて3分閉じる」の繰り返しなので、3+3=6分間がひとつの周期になっています。
 
また、管Bは「2分開いて2分閉じる」の繰り返しなので、2+2=4分間がひとつの周期です。
 
つまり、2つの管は6と4の最小公倍数である12分間の動きをひたすら繰り返すので、その間の動きを表にすると次のようになります。


11jissen405.png




上の表を見れば分かるように、管Aは「3分開く」が2回あるので、12分間で8×3×2=48リットルの水がタンクへ注がれます。
 
また、管Bは「2分開く」が3回あるので、12分間で5×2×3=30リットルの水がタンクから排出されます。
 
したがって、タンクの水量は12分間で48-30=18リットルずつ増えていくことが分かります。
 
そのペースでタンクの水量が92リットル増えるのにかかる時間を計算してみると、92÷18=5余り2だから、とりあえず12分が5セットあることは確定で、残り2リットルを増やすのにかかる時間は何分かなー・・・
 
みたいなノリで求めようとした瞬間にアウトです(笑)
 
スタートから12×4=48分間で、タンクの水量は18×4=72リットル増えるので、その時点で満水まであと92-72=20リットルになっています。
 
また、次の表を見れば分かるように、その後の6分間で、管Aからは8×3=24リットルの水が注がれ、管Bからは5×2×2=20リットルの水が排出されるので、タンクの水量は24-20=4リットル増えます。
 
つまり、スタートから48+6=54分の時点で、タンクの水量は満水まであと20-4=16リットルになっています。


11jissen406.png






次の表を見れば分かるように、54分からの2分間は管Aだけが開いているので、その間にタンクへ8×2=16リットルの水が注がれてちょうど満水になります。
 
以上から、タンクが初めて満水になるのは、スタートから54+2=56分後なります。


11jissen407.png





【補足】
 
スタートから56分後に、タンクはいったん満水になるのですが、その後の2分間で、
 
・管A→1分だけ開いているので、タンクへ水が8リットル注がれる。
・管B→2分とも開いているので、タンクから水が5×2=10リットル排水される。
 
ので、タンクの水量は満水よりも10-8=2リットルだけ減っています(計算上は)。
 
「92÷18=5余り2」の計算で出てきた余りの「2」は、「12×5=60分後には、満水まで残り2リットルですよ」の「2」なのですが、さっきの解説で確認したように、56分後にはすでに満水になっているので、「残り2リットルを増やした時点で初めて満水」という考え方は間違いです。
 
さらに言えば、56分後に満水になった後の1分間で、
 
・管Aからは8リットルの水が注がれる。
・管Bからは5リットルの水が排出される。
 
ので、計算上だと、57分の時点でタンクの水は満水よりも8-5=3リットル増えることになります。
 
しかし実際には、満水の状態から3リットル増やすことなんてできないので、「92÷18=5余り2」という割り算は何の役にも立ちません。








 
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