気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のように白と黒のご石を並べます。１段ごとに２個ずつ増え、奇数段はすべて黒、偶数段は中央のみ黒で他は白となるように並べます。次の各問いに答えなさい。
 
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(１)
５０段まで作ったとき、白、黒それぞれ何個ずつご石を使いましたか。
 
(２)
白が９５個、黒が１０４個あるとき、最大何段まで作ることができますか。またそのとき使わずに残ったご石は白、黒それぞれ何個ずつありますか。
 
 
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(１)
次の図のように、上から１個、３個、５個、７個、・・・、の順に奇数個のご石をピラミッド状に並べたとき、
 
・上から１段目→ご石は全部で１個
・上から２段目まで→ご石は全部で１＋３＝２×２＝４個
・上から３段目まで→ご石は全部で１＋３＋５＝３×３＝９個
・上から４段目まで→ご石は全部で１＋３＋５＋７＝４×４＝１６個
 
となるので、上から□段目までに並んだご石の数は「□×□」で求められることが分かります。
 
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次の図の白と黒のご石の数を、「１段目と２段目」、「３段目と４段目」のように２段ずつ調べてみると、
 
・１段目と２段目→白と黒のご石がどちらも２個ある
・３段目と４段目→白と黒のご石がどちらも６個ある
・５段目と６段目→白と黒のご石がどちらも１０個ある
 
となっていることから分かるように、ご石を偶数段目まで並べたときは、白と黒のご石が同じ数ずつ使われています。






ご石を５０段目まで並べたとき、使ったご石の総数は５０×５０＝２５００個です。
 
また、５０段目も偶数段目であり、白と黒のご石が同じ数ずつ使われているはずなので、白のご石は２５００÷２＝１２５０個、そして黒のご石も１２５０個になります。
 
 
(２)
白と黒のご石は合わせて９５＋１０４＝１９９個あるので、「□×□」の形で偶数どうしをかけ合わせたとき、だいたい１９９になるときを探してみると、
 
・１０×１０＝１００→小さすぎ
・１２×１２＝１４４→まだいけそう
・１４×１４＝１９６→かなり近い
 
となるので、もしかしたら１４段ぐらいまで並べられるのかもしれません。
 
ただし、もし１４段まで並べる場合、白と黒の碁石はどちらも１９６÷２＝９８個必要なのですが、白のご石は９５個しかないので実際には不可能です。
 
そこで、１３段目まで並べた場合のことを考えてみると、
 
・１２段目まで並べたとき、白と黒の碁石はどちらも１４４÷２＝７２個ずつ使う。
・そのとき、残りのご石は白が９５－７２＝２３個、黒が１０４－７２＝３２個。
・１３段目に使うご石の数は１３番目の奇数と等しいので、２×１３－１＝２５個。
・黒のご石は３２個残っているので、１３段目まではＯＫ。
 
となります。
 
以上から、最大で１３段目まで並べることができ、そのとき白のご石の残りは２３個、黒のご石の残りは３２－２５＝７個になります。