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2011

晃華学園2011【6】 ☆規則性・白と黒のご石をピラミッド状に並べる☆


次の図のように白と黒のご石を並べます。1段ごとに2個ずつ増え、奇数段はすべて黒、偶数段は中央のみ黒で他は白となるように並べます。次の各問いに答えなさい。
 
※ 画像はクリックすると拡大します。


79fe293c.png










(1)
50段まで作ったとき、白、黒それぞれ何個ずつご石を使いましたか。
 
(2)
白が95個、黒が104個あるとき、最大何段まで作ることができますか。またそのとき使わずに残ったご石は白、黒それぞれ何個ずつありますか。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!





 


(1)
次の図のように、上から1個、3個、5個、7個、・・・、の順に奇数個のご石をピラミッド状に並べたとき、
 
・上から1段目→ご石は全部で1個
・上から2段目まで→ご石は全部で1+3=2×2=4個
・上から3段目まで→ご石は全部で1+3+5=3×3=9個
・上から4段目まで→ご石は全部で1+3+5+7=4×4=16個
 
となるので、上から□段目までに並んだご石の数は「□×□」で求められることが分かります。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


d209847c.png





次の図の白と黒のご石の数を、「1段目と2段目」、「3段目と4段目」のように2段ずつ調べてみると、
 
・1段目と2段目→白と黒のご石がどちらも2個ある
・3段目と4段目→白と黒のご石がどちらも6個ある
・5段目と6段目→白と黒のご石がどちらも10個ある
 
となっていることから分かるように、ご石を偶数段目まで並べたときは、白と黒のご石が同じ数ずつ使われています。


203887ce.png




ご石を50段目まで並べたとき、使ったご石の総数は50×50=2500個です。
 
また、50段目も偶数段目であり、白と黒のご石が同じ数ずつ使われているはずなので、白のご石は2500÷2=1250個、そして黒のご石も1250個になります。
 
 
(2)
白と黒のご石は合わせて95+104=199個あるので、「□×□」の形で偶数どうしをかけ合わせたとき、だいたい199になるときを探してみると、
 
・10×10=100→小さすぎ
・12×12=144→まだいけそう
・14×14=196→かなり近い
 
となるので、もしかしたら14段ぐらいまで並べられるのかもしれません。
 
ただし、もし14段まで並べる場合、白と黒の碁石はどちらも196÷2=98個必要なのですが、白のご石は95個しかないので実際には不可能です。
 
そこで、13段目まで並べた場合のことを考えてみると、
 
・12段目まで並べたとき、白と黒の碁石はどちらも144÷2=72個ずつ使う。
・そのとき、残りのご石は白が95-72=23個、黒が104-72=32個
・13段目に使うご石の数は13番目の奇数と等しいので、2×13-1=25個
・黒のご石は32個残っているので、13段目まではOK。
 
となります。
 
以上から、最大で13段目まで並べることができ、そのとき白のご石の残りは23個、黒のご石の残りは32-25=7個になります。




 
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