気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のような多角形ＡＢＣＤＥＦＧＨがあります。点Ｐは点Ａを出発し、毎秒１㎝の速さでＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ｇ→Ｈの順に辺上を点Ｈまで動きます。グラフは点Ｐが点Ａを出発してからの時間(秒)と三角形ＡＰＨの面積(㎠)の関係を表したものです。次の各問いに答えなさい。
 
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(１)
ＡＨの長さを求めなさい。
 
(２)
ＣＤの長さを求めなさい。
 
(３)
多角形ＡＢＣＤＥＦＧＨの面積が７５㎠のとき、ＥＦの長さを求めなさい。
 
 
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(１)
点Ｐは多角形の頂点Ａから出発して頂点Ｈまで順番に進むので、グラフの折れ曲がっているポイントへＡからＨまで順番に書き込んでみると次のような図になります。
 
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上のグラフから、点Ｐが頂点Ａを出発してから３秒後には頂点Ｂに到着し、そのときの三角形ＡＰＨの面積は１２㎠となることが分かります。
 
また、毎秒１㎝の速さで進む点Ｐは３秒間で１×３＝３㎝進むので、次の図のように辺ＡＢは３㎝です。















上の図の辺ＡＨの長さを□㎝とおくと、三角形ＡＰＨの面積を求める式は「□×３÷２＝１２㎠」と表せます。
 
したがって、辺ＡＨの長さは１２×２÷３＝８㎝になります。
 
 
(２)
さっきのグラフから、点Ｐが頂点Ｄに到着したときの三角形ＡＰＨの面積は３０㎠であることが分かります。
 
次の図のように、三角形ＡＰＨの高さを□㎝とおくと、三角形ＡＰＨの面積を求める式は「８×□÷２＝３０㎠」と表せるので、三角形ＡＰＨの高さは３０×２÷８＝７.５㎝になります。















次の図を見れば分かるように、さっき求めた７.５㎝は、辺ＡＢとＣＤの長さの合計になっています。
 
辺ＡＢの長さは３㎝なので、辺ＣＤの長さは７.５－３＝４.５㎝です。















(３)
グラフから、毎秒１㎝で進む点Ｐは、頂点ＢからＣまで５－３＝２秒かけて進むことが分かるので、辺ＢＣの長さは１×２＝２㎝です。
 
また、頂点ＡからＥまで進むのに１３秒かかるので、辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥの長さの合計は１×１３＝１３㎝です。
 
辺ＡＢは３㎝、辺ＢＣは２㎝、辺ＣＤは４.５㎝なので、辺ＤＥの長さは１３－(３＋２＋４.５)＝３.５㎝になります。
 
また、次の図を見れば分かるように、辺ＡＨとＣＢの長さの合計は、辺ＤＥとＦＧの長さの合計と等しいので、辺ＦＧの長さは(８＋２)－３.５＝６.５㎝です。













次の図のように、頂点ＢとＥから辺ＨＧに向けてそれぞれ垂線を引き、その交点をＩ、Ｊとすると、この多角形は３つの長方形に分けることができます。
 
このうち、長方形ＡＨＢＩの面積は８×３＝２４㎠、長方形ＣＩＪＤの面積は(２＋８)×４.５＝４５㎠、そして多角形ＡＢＣＤＥＦＧＨの面積は７５㎠なので、長方形ＥＪＧＦの面積は７５－(２４＋４５)＝６㎠になります。













つまり次の図のように、長方形ＥＪＧＦは面積が６㎠で、縦の長さが６.５㎝なので、この問題で求めたい辺ＥＦの長さは６÷６.５＝１３分の１２㎝になります。