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気まぐれ解説カフェ(仮)

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Sat

2011

東海2010【7】 ☆容積・しきり板を外した時の水面の高さの変化☆

次の図のような底面が台形の四角柱の容器に、しきり板EFGHが入っています。アの部分に、水面が容器の高さと同じになるまで水を入れてから、しきり板EFGHを取り除いたら、水面の高さが容器の高さの3分の2になりました。AE:ED=2:1、AB=20㎝、CD=28㎝のとき、BFの長さとFCの長さの比を求めなさい。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。

tok701.png










tok702.png








※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!

最初は仕切り板の左側だけが水で満たされていましたが、仕切り板を外した結果、左側にあった水の1-3分の2=3分の1が右側へ移動したため、次の図のように水面の高さが3分の2でそろいました。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。

tok703.png




つまり、上の図で「アの底面積×3分の1」「イの底面積×3分の2」の体積が等しいので、アとイの底面積の比はア:イ=3分の2:3分の1=2:1になります。
 
※ 比の内項と外項の積が等しくなることを利用しました。
 
次の図は容器を真上から見た様子を表しています。
 
この容器の辺AEとEDの長さの比は2:1であることが分かっているので、台形ABCDの高さは2+1=3、そして台形ABCDの面積は(20+28)×3÷2=72と表せます。

tok704.png








上の図の底面アとイの面積比は2:1なので、台形ABCDの面積である72を2:1に比例配分すると、
 
・底面ア(四角形BAEF)の面積→72×3分の2=48
・底面イ(四角形FEDC)の面積→72×3分の1=24
 
となります。
 
次の図のように、頂点BとE、CとEをそれぞれ直線で結ぶと、2つの直角三角形BAEとCEDができ、BAEの面積は2×20÷2=20、そしてCEDの面積は1×28÷2=14と表すことができます。

tok705.png








次の図の四角形BAEFの面積は48、直角三角形BAEの面積は20なので、三角形BEFの面積は48-20=28となります。
 
また、四角形FEDCの面積は24、直角三角形CEDの面積は14なので、三角形CEFの面積は24-14=10と表せます。

tok706.png









三角形BEFとCEFを次の図のように比べてみると、この2つの三角形は高さが同じなので、底辺の長さの比と面積比が等しくなります。

tok707.png







上の図で青い矢印を2つの三角形の高さとすると、三角形BEFの底辺はBF、CEFの底辺はFCとなります。
 
その2つの辺の長さの比が面積比と等しいので、BF:FC=28:10=14:5になります。


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