図のように、４つの管Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのついた水そうがあります。この４つの管は開くと１分間あたりそれぞれ一定の量の水を流すことができ、管ＡとＢは開くと水そうに水をいれることができ、管ＣとＤは開くと水そうから水を抜くことができます。
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最初は４つの管がすべて閉じている状態であったとします。この状態から次のようなことがわかっているとき、あとの問いに答えなさい。
① 管ＡとＢとＣを開くと、１０分で空の水そうは満水になる。
② 管ＡとＢとＤを開くと、１５分で空の水そうは満水になる。
③ 管ＡとＣとＤを開くと、２０分で満水の水そうは空になる。
④ 管ＢとＣとＤを開くと、６０分で満水の水そうは空になる。
(１) 管ＡとＢとＣとＤを開くと、何分で空の水そうは満水になりますか。
(２) 管Ｄのみを開くと、何分で満水の水そうは空になりますか。
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(１)
まずは水そうの満水の量を１とおいて、問題文の①から④の内容を次のように分かりやすく書きかえていきます。
ただし、管ＡとＢは水を増やす役割、そして管ＣとＤは水を減らす役割をしていることを区別しながら考えていくことが大切です。
① 管ＡとＢとＣを開くと、１０分で空の水そうは満水になる。
ＡＢ１０分とＣ１０分で水そうの水の量は１増えるので、ＡＢ１分とＣ１分を使うと、水そうの水の量は１÷１０＝１０分の１増えます。
② 管ＡとＢとＤを開くと、１５分で空の水そうは満水になる。
ＡＢ１５分とＤ１５分で水そうの水の量は１増えるので、ＡＢ１分とＤ１分を使うと、水そうの水の量は１÷１５＝１５分の１増えます。
③ 管ＡとＣとＤを開くと、２０分で満水の水そうは空になる。
Ａ２０分とＣＤ２０分で水そうの水の量は１減るので、Ａ１分とＣＤ１分を使うと、水そうの水の量は１÷２０＝２０分の１減ります。
④ 管ＢとＣとＤを開くと、６０分で満水の水そうは空になる。
Ｂ６０分とＣＤ６０分で水そうの水の量は１減るので、Ｂ１分とＣＤ１分を使うと、水そうの水の量は１÷６０＝６０分の１減ります。
このとき、①から④の書きかえた内容をすべて次の図のように合体させると、Ａ～Ｄがそれぞれ３回ずつ登場しているので、ＡＢ３分とＣＤ３分を使うと水の量が１０分の１増えることが分かります。
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以上から、この４つの管で満水にするのにかかる時間は、３×１０＝３０分になります。
(２)
さっきの問題で、ＡＢＣＤを３０分使うと水そうが満水になることが分かったので、ＡＢＣＤを１分使ったときは水そうの水の量が１÷３０＝３０分の１増えることになります。
そこで、今度は「ＡＢ１分＋ＣＤ１分＝３０分の１増える」と「ＡＢ１分＋Ｃ１分＝１０分の１増える」という２つの条件を次の図のように消去算っぽく扱うと、Ｄ１分で水そうの水は１５分の１減ることが分かります。
管Ｄは１分で水そうの水を１５分の１減らすので、空にするまでにかかる時間は１÷１５分の１＝１５分になります。
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