２つの整数Ａ、Ｂについて、次の(あ)、(い)のことが分かっています。
(あ) Ａ×Ｂ＝７０９８
(い) Ｂ－Ａ＝１４３
① 整数Ａ、Ｂの最大公約数を求めなさい。
② 整数Ａを求めなさい。
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(１)
２つの整数Ａ、Ｂの最大公約数を求めるには、普通は次の図のような連除法が使われます。
上の図を利用してＡとＢをかけ算の式でそれぞれ表すと、Ａ＝△×□、Ｂ＝◎×□となります。このとき、最大公約数である□はＡとＢどちらの式にも使われています。
次に、Ａ×Ｂの答えである７０９８を素数のかけ算の式で表すため、素因数分解を行います。「素因数分解」って聞くとなんだか難しそうだけど、次の図のようにひとつの数で孤独に逆向きの割り算をやるだけのことです。
上の図から、７０９８は２×３×７×１３×１３と表せることが分かるのですが、その式の中で「１３」だけが２回登場しているので、ＡとＢの最大公約数は１３になります。
(２)
Ａ＝△×□、Ｂ＝◎×□のそれぞれの□に最大公約数である１３をあてはめると、Ａ＝△×１３、Ｂ＝◎×１３となります。
ちなみにこの△とか◎には、さっきの問題に出てきた７０９８＝２×３×７×１３×１３のうち、「２・３・７」のどれかがあてはまります。
※ 例えば△→２×３、◎→７みたいな感じ。
このとき、Ｂ－Ａ＝◎×１３－△×１３＝１４３と表せるのですが、式の中に「×１３」が２回出てくるのでまとめると、(◎－△)×１３＝１４３となります。
つまり「◎－△」の答えは１４３÷１３＝１１になるのですが、◎や△に「２・３・７」をあてはめて差を１１にするには、◎→２×７、△→３のとき以外ありえません。
以上から、Ａは３×１３＝３９になります。
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