次の図のような１辺の長さが１２㎝の正方形のそれぞれの辺の外側をすべることなく転がっていく正三角形があります。正三角形の１辺は、正方形の１辺の半分の長さです。正三角形が正方形のまわりを１周して重なるとき、点Ａが動いた長さは何㎝ですか。ただし、円周率は３.１４とします。
※ 画像はクリックすると拡大します。
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック！
転がる正三角形の一辺の長さは正方形の一辺の半分なので、１２÷２＝６㎝です。
また、正三角形が正方形の辺上を１周する様子を次のような図に表してみると、頂点Ａが動いた線は
・青色の孤が３本
・緑色の孤が２本
の２種類に分けることができます。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
次の図のように、青色の孤の中心角は１か所あたり１８０－６０＝１２０度なので、３本の孤の中心角の合計は１２０×３＝３６０度になります。
※ つまり、ちょうど円１個分の周りの長さと等しくなります。
また次の図のように、緑色の孤の中心角は１か所あたり３６０－(９０＋６０)＝２１０度なので、緑色の孤２本の中心角の合計は２１０×２＝４２０度です。
つまり、青色と緑色の孤の中心角の合計は３６０＋４２０＝７８０度なので、点Ａが動いた線の長さの合計は、６×２×３.１４×３６０分の７８０＝８１.６４㎝になります。
【補足】
正三角形が最後にスタート位置へ転がるときは、次の図のように点Ａが回転の中心になるので、点Ａが動いた長さはゼロです。
PR
