下の図のように、１辺が１２㎝の正三角形アの外側に１辺が６㎝の正三角形イがあります。正三角形イを、正三角形アの辺にそって、すべらないように転がして、もとの位置まで１周させます。このとき、次の問いに答えなさい。
※ 画像はクリックすると拡大します。
(１)
正三角形イが通る部分を図示しなさい。
(２)
正三角形イが通った部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は３.１４、１辺が６㎝の正三角形の面積は１５.５９㎠とします。
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック！
(１)
正三角形イがアのまわりを１周するときにできる線は、「小さなおうぎ形」と「大きなおうぎ形」の２種類に分けることができます。
【図１ 小さなおうぎ形】
正三角形イがアのまわりを次の図１のように進むとき、半径６㎝で中心角１２０度の小さなおうぎ形が３個できます。
・ イ①のオレンジ色の点が１２０度回転→青い線１本目
・ イ②の緑色の点が１２０度回転→青い線２本目
・ イ③のむらさき色の点が１２０度回転→青い線３本目
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
【図２ 大きなおうぎ形】
正三角形イがアのまわりを次の図２のように進むとき、半径６㎝で中心角２４０度の大きなおうぎ形が３個できます。
・ イ①のオレンジ色の点が２４０度回転→赤い線１本目
・ イ②の緑色の点が２４０度回転→赤い線２本目
・ イ③のむらさき色の点が２４０度回転→赤い線３本目
【図３ 青色と赤色の線を合体させてみる】
図１と図２で確認した青色と赤色の線を合体させてみると、次の図３のようになります。
ただし、この図の黄色い６か所の曲線は、正三角形イが通るときにできる線の内側にあるので、すべて取り除いて図をスッキリさせてみます。
【図４ ついに完成】
図３の黄色い６か所の部分を削除すると、次の図のように正三角形イの外側が通った線が完成します。
図の青い３本の曲線は半径６㎝で中心角６０度のおうぎ形、そして赤い３本の曲線は半径６㎝で中心角１８０度のおうぎ形(つまり半円)になっています。
(２)
さっきの図４を参考にして正三角形イが通った部分を色分けてしてみると、次の図５のように、
・ 図の青色→半径６㎝で中心角６０度のおうぎ形が３個
・ 図の赤色→半径６㎝で中心角１８０度のおうぎ形が３個
・ 図の緑色→正三角形イが６個
の３種類に分けることができます。
このうち、青色と赤色のおうぎ形の中心角の合計は６０×３＋１８０×３＝７２０度になるので、すべてのおうぎ形を合体させると円が７２０÷３６０＝２個できることが分かります。
また、正三角形イの面積は１個が１５.５９㎠と問題文に書いてあるので、６個分の面積もすぐに求められます。
半径６㎝の円２個分の面積は６×６×３.１４×２＝２２６.０８㎠、正方形イ６個分の面積は１５.５９×６＝９３.５４㎠なので、正三角形イが通った部分の面積は２２６.０８＋９３.５４＝３１９.６２㎠になります。
PR
