平面上に点Ｏと点Ｐがあり、図１のように、Ｏを中心とする円と、Ｐを中心とする円があります。さらに、Ｐを中心とする円の周上に点Ｑがあります。
Ｐは、Ｏを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動きつづけ、Ｏのまわりを１周するのに９秒かかります。このとき、Ｐを中心とする円もＰと一緒に動きます。また、Ｑは、Ｐを中心とする円の周上を時計回りに一定の速さで動きつづけ、Ｐのまわりを１周するのに５秒かかります。
Ｐ、Ｑは、図１の位置から同時に動き始め、例えば１秒後には図２のようになります。
次の問いに答えなさい。
(画像はクリックすると拡大します)
(１)
動き始めてからＰがＯのまわりを１周するまでに、３点Ｏ、Ｐ、Ｑがひとつのまっすぐな線の上にくることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含めません。
(２)
点Ｒは、Ｐを中心とする円の周上をＱと逆回りに一定の速さで動きつづけ、Ｐのまわりを１周するのに３秒かかります。Ｒは、Ｑと同じ位置から、Ｑと同時に動き始めます。
(ア)
３点Ｐ、Ｑ、Ｒが初めてひとつのまっすぐな線の上にくるのは、動き始めてから何秒後ですか。
(イ)
動き始めてから２０１０秒までに、４点Ｏ、Ｐ、Ｑ、Ｒがひとつのまっすぐな線の上にくることは何回ありますか。ただし、動き始めたときは回数に含めません。
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(１)
点ＰがＯを中心とする円のまわりを１周するのにかかる時間は９秒間、そして点ＱがＰを中心とする円のまわりを１周するのにかかる時間は５秒間です。
ということは、点Ｐが大きい円を１周している間に、点Ｑは小さい円を９÷５＝１.８周できることになります。
このとき、点Ｑは小さい円のまわりを０.５周進むごとに直線ＯＰやその延長線上に来るので、そのたびに３点Ｏ、Ｐ、Ｑは一直線になります(次の図)。
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。
１.８÷０.５＝３余り０.３なので、最初の９秒間で一直線になるのは全部で３回になります。
(２)の(ア)
次の図のように、点Ｑと点Ｒが小さい円の周上を逆回りに合わせて１８０度進んだとき、３点Ｐ、Ｑ、Ｒは一直線になります。
※ ここからは分数が出てくるので、求め方を画像に変換します。
(２)の(イ)
点Ｑと点Ｒが小さい円周上をどちらも１８０度(半周)の倍数だけ進んだとき、４点Ｏ、Ｐ、Ｑ、Ｒは一直線になります。
※ １８０度、３６０度、５４０度、７２０度、９００度、・・・
点Ｑが１８０度進むのにかかる時間は１８０÷７２＝２.５秒間、そして点Ｒが１８０度進むのにかかる時間は１８０÷１２０＝１.５秒間なので、２.５と１.５の最小公倍数である７.５秒ごとに、この２つの点は同時に１８０度の倍数だけ進むことになります。
それが２０１０秒までに何回あるのかを求めればＯＫなので、答えは２０１０÷７.５＝２６８回になります。
※ ２.５と１.５の最小公倍数を計算で求めるには、「両方を分数に直す→分子の最小公倍数を求める」あるいは「両方を１０倍して整数にする→その最小公倍数を求める→１０で割る」という方法があります。
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