次の図のように、対角線の長さが１０㎝の正方形ＡＢＣＤが直線Ｌ上をすべることなく１回転します。次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３.１４とします。
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(１)
対角線の交点Ｏが通った曲線の長さを求めなさい。
(２)
頂点Ｂが通った曲線と直線Ｌとで囲まれた部分の面積を求めなさい。
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(１)
正方形ＡＢＣＤが辺Ｌの上を右へ１回転する間に、対角線の交点Ｏは次の図のような青い４つの孤を描きます。
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対角線の長さは１０㎝なので、上の図の辺ＣＯやＢＯの長さは１０÷２＝５㎝です。
また、青い４つの孤はどれも中心角が９０度なので、４つ合わせるとちょうど円が１個できます。
つまり、求める長さは半径５㎝の円の円周の長さと等しいので、答えは５×２×３.１４＝３１.４㎝になります。
(２)
正方形ＡＢＣＤが辺Ｌの上を右へ１回転したとき、頂点Ｂの動いた曲線と辺Ｌとの間で囲まれた部分は、次の図のように
・青いおうぎ形→２個
・緑色の直角二等辺三角形→２個
・黄色いおうぎ形→１個
の３つに分けられます。
上の図の黄色いおうぎ形は、中心角９０度で半径の長さが正方形の対角線の長さと等しいので、その面積は１０×１０×３.１４÷４＝７８.５㎠です。
また、緑色の直角二等辺三角形２個分の面積はちょうど正方形ＡＢＣＤの面積と等しいので、「正方形の面積＝対角線×対角線÷２」の公式を利用してその面積を求めると、１０×１０÷２＝５０㎠になります。
正方形ＡＢＣＤの面積は５０㎠であることが分かったので、次の図のように辺ＢＣとＤＣの長さを□㎝とおくと、□×□＝５０㎠と表せます。
※ ただし、□にいくつがあてはまるのかは結局分かりません。
次の図の青いおうぎ形の面積は「□×□×３.１４÷４」を計算すれば求められるので、その式の「□×□」の部分に５０をあてはめてみると、５０×３.１４÷４＝３９.２５㎠となります。
また、頂点Ｂが通った曲線と辺Ｌに囲まれた部分には青いおうぎ形が２個あるので、その面積の合計は３９.２５×２＝７８.５㎠になります。
以上から、青いおうぎ形２個の面積と黄色いおうぎ形１個の面積はどちらも７８.５㎠、そして緑色の直角二等辺三角形２個の面積は５０㎠となることが分かったので、答えは７８.５×２＋５０＝２０７㎠になります。
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