図のように、おうぎ形ＯＡＤの周上に点Ｂ、Ｃがあります。
・おうぎ形ＯＢＣの面積は、おうぎ形ＯＡＢの面積の３倍です。
・おうぎ形ＯＡＣの周りの長さと、おうぎ形ＯＢＤの周りの長さは等しいです。
・おうぎ形ＯＢＣの周りの長さと、おうぎ形ＯＡＢの周りの長さの差は３.１４㎝です。
次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３.１４とします。
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(１) アの角度を求めなさい。
(２) おうぎ形ＯＡＤの半径の長さを求めなさい。
(３) 色がぬられた部分の面積を求めなさい。
【補足】すべて求め方も含めて答える問題です。
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(１)
おうぎ形ＯＢＣの面積がおうぎ形ＯＡＢの面積の３倍なので、孤ＢＣの長さは孤ＡＢの長さの３倍です。
また、おうぎ形ＯＡＣの周りの長さとおうぎ形ＯＢＤの周りの長さが等しいということは・・・
・孤ＡＢと孤ＢＣの長さの和は、孤ＢＣと孤ＣＤの長さの和と等しい。
・つまり、孤ＡＢと孤ＣＤの長さも等しい。
ことが分かるので、次の図のように孤ＡＢの長さを①とおくと、孤ＢＣの長さは③、そして孤ＣＤの長さは①と表せます。
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このとき、角ＡＯＤの大きさである９０度が比の①＋③＋①＝⑤にあたるので、比の①にあたる角の大きさは９０÷⑤＝１８度、そして角ＢＯＣの大きさは比の③なので１８×③＝５４度になります(次の図)。
また次の図のように、三角形ＯＢＣは辺ＯＢと辺ＯＣの長さが等しい(どちらもおうぎ形の半径)二等辺三角形なので、角ＯＢＣと角ＯＣＢの大きさは同じです。
以上から、求める角アの大きさは(１８０－５４)÷２＝６３度になります。
(２)
まずは次の図を使って孤ＡＤの長さを求めてみます。
おうぎ形ＯＡＢとおうぎ形ＯＢＣの半径はどちらも同じ長さなので、周りの長さの差である３.１４㎝は、上の図の孤ＢＣと孤ＡＢの長さの差にあたります。
つまり、比の③と比の①の差である②が３.１４㎝にあたるので、比の①は３.１４÷２＝１.５７㎝、そして孤ＡＤの長さにあたる比の⑤は１.５７×５＝７.８５㎝になります。
おうぎ形ＯＡＤの半径を□㎝とおくと、□×２×３.１４÷４＝７.８５㎝なので、□は７.８５×４÷３.１４÷２＝５㎝になります。
(３)
まずは次の図の三角形ＢＥＯと三角形ＯＣＦの関係に注目してみます。
次の図のように、三角形ＢＥＯは角ＢＥＯ＝９０度、角ＢＯＥ＝１８度、角ＥＢＯ＝１８０－(９０＋１８)＝７２度で、辺ＯＢはおうぎ形の半径です。
また、三角形ＯＣＦは角ＯＦＣ＝９０度、角ＣＯＦ＝１８＋５４＝７２度、角ＯＣＦ＝１８０－(９０＋７２)＝１８度で、辺ＯＣはおうぎ形の半径です。
つまり三角形ＢＥＯと三角形ＯＣＦは合同なので、次の図のア＋イとウ＋エの面積は等しいことが分かります。
また、ア＋イとイ＋ウが等しいということは、アとウが等しいことでもあるので、アとエの面積を求めるときに、次の図のようにアの部分をウに移して、ウとエ(つまりおうぎ形ＯＢＣ)の面積を求めてもＯＫです。
※ ここからは分数が出てくるので、求め方を画像に変換します。
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