気まぐれ解説カフェ(仮)

次の図のように直角三角形ＡＢＣと直角三角形ＣＤＥがあります。点Ｄは、直線ＡＢ上の点です。直線ＡＣと直線ＤＥが交わってできる点をＦとすると、点Ｆは直線ＡＣの真ん中の点になりました。直線ＡＣの長さは直線ＢＣの長さの２倍です。三角形ＡＢＣの面積は１０㎠です。次の問いに答えなさい。
 
※　画像はクリックすると拡大します。















(１)　三角形ＣＦＥの面積は( 　 )㎠、アの角の大きさは(　　)度です。
 
(２)　直線ＣＤの長さを求めなさい。
 
 
※　続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック！

 

(１)　アの角度の求め方
次の図の三角形ＡＢＣとＡＦＤを比べてみると、角ＡＣＢとＡＤＦはどちらも直角で、角ＤＡＦは共通なので、この２つの三角形は内角の関係から相似であることが分かります。
 
また、三角形ＡＢＣの辺ＡＣとＢＣの長さの比は２：１なので、三角形ＡＦＤの辺ＡＤとＤＦの長さの比も２：１と表せます。
 
※　画像はすべて、クリックすると拡大します。















次の図の三角形ＡＦＤとＣＦＥを比べてみると、角ＡＤＦとＣＥＦはどちらも直角、角ＡＦＤとＣＦＥは対頂角で同じ大きさなので、この２つの三角形は内角がすべて同じ大きさであることが分かります。
 
しかも、辺ＡＦとＦＣの長さは等しいので、三角形ＡＦＤとＣＦＥは合同であり、辺ＣＥとＥＦの長さの比は、辺ＡＤとＤＦの長さの比と同じく２：１と表せます。















つまり次の図のように、三角形ＣＥＤは角ＣＥＤが直角で、辺ＥＣとＤＥの長さはどちらも比の２と表せるので直角二等辺三角形であることが分かります。
 
したがって、角アの大きさは４５度になります。















(１)　三角形ＣＦＥの面積の求め方
さっき求めた長さの比を使って、次の図の三角形ＡＦＤ、ＣＦＥ、ＣＤＦの面積をそれぞれ求めてみると、
 
・三角形ＡＦＤ→底辺ＤＦは１、高さＡＤは２なので、面積は１×２÷２＝１
・三角形ＣＦＥ→底辺ＦＥは１、高さＥＣは２なので、面積は１×２÷２＝１
・三角形ＣＤＦ→底辺ＤＦは１、高さＥＣは２なので、面積は１×２÷２＝１
 
となるので、この３つの三角形の面積はどれも比の１と表せることが分かります。















次の図のように、点Ｃから辺ＡＢに向けて垂線を引き、ＡＢとの交点をＧとすると、三角形ＤＧＣはＣＥＤと合同な直角二等辺三角形になります。
 
※　この問題には直接関係ないけど、ＤＧＣＥは正方形になってます。
 
つまり、辺ＤＧとＧＣの長さは、辺ＥＣやＤＥと同じく比の２と表せるので、三角形ＤＧＣの面積は２×２÷２＝２となります。















次の図の三角形ＡＦＤとＣＢＧを比べてみると、角ＡＤＦとＣＧＢはどちらも直角で、角ＡＦＤとＣＢＧの大きさも同じ(さっきの問題で最初に確認済み)なので、この２つの三角形は内角がすべて等しいです。
 
また、辺ＡＤとＧＣの長さはどちらも比の２なので、三角形ＡＦＤとＣＢＧは合同であり、三角形ＣＢＧの面積はＡＦＤと同じく比の１と表せます。















上の図を見れば分かるように、三角形ＡＢＣの内部は、三角形ＡＦＤ、ＣＤＦ、ＤＧＣ、ＣＢＧの４つの三角形に分けることができ、それらの面積の合計を比で求めると１＋１＋２＋１＝５となります。
 
つまり、三角形ＡＢＣの面積である１０㎠が比の５にあたり、この問題で求めたい三角形ＣＦＥの面積は比の１なので、答えは１０÷５＝２㎠になります。
 
 
(２)
次の図の三角形ＣＤＦの面積はＣＦＥと同じく２㎠なので、直角二等辺三角形ＣＥＤの面積は２＋２＝４㎠です。
 
また、下の図のようにＣＥＤと合同な直角二等辺三角形をくっつけると正方形ＤＣＪＩができ、その面積は４×４＝１６㎠になります。














上の図の辺ＣＤとＤＩの長さを□㎝とおくと、正方形ＤＣＪＩの面積を求める式は「□×□＝１６㎠」と表せます。
 
１６＝４×４なので、辺ＣＤの長さは４㎝になります。