次の図の点Ｑは四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣの上にあり、ＡＱとＱＣの長さの比は４：５です。点Ｒは四角形ＡＢＣＤの対角線ＢＤの上にあり、ＢＲとＲＤの長さの比は３：１です。点ＡとＢを結んで伸ばし、点ＣとＤを結んで伸ばしたとき、交わったところを点Ｐとします。このとき、３つの点Ｐ、Ｑ、Ｒは一直線に並びました。
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(１) イの角の大きさを求めなさい。
(２) 三角形ＰＡＲの面積は三角形ＰＡＤの面積の何倍でしょうか。
(３) 三角形ＰＣＲの面積は三角形ＰＡＤの面積の何倍でしょうか。
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(１)
次の図の直角三角形ＢＥＤは、角ＥＢＤが２１度、角ＢＥＤが９０度、角ＥＤＡが３１度なので、角イ以外の内角の和は２１＋９０＋３１＝１４２度です。
三角形の内角の和は１８０度なので、角イの大きさは１８０－１４２＝３８度になります。
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(２)
次の図の赤い辺ＥＤとＡＲは平行なので、角ＥＤＲとＡＲＢの大きさは同じ(同位角の関係)です。
また、辺ＢＲとＲＤの長さの比は３：１なので、辺ＢＤの長さは３＋１＝４と表せます。
次の図のように、三角形ＡＢＲとＥＢＤを横に並べて比べてみると、この２つの三角形はすべての内角が等しいので相似の関係にあることが分かります。
この２つの三角形は、辺ＢＲとＢＤの長さの比が３：４なので、辺ＡＲとＥＤの長さの比も３：４になります。
次の図の三角形ＰＡＲとＰＡＤは、それぞれの底辺をＰＡとすると、高さはＡＲとＥＤになります。
つまり、この２つの三角形は底辺が共通で高さの比がＡＲ：ＥＤ＝３：４なので、面積の比は高さの比と同じく３：４になります。
三角形ＰＡＲの面積を３とするとＰＡＤの面積は４にあたるので、ＰＡＲの面積はＰＡＤの面積の３÷４＝４分の３倍になります。
(３)
次の図の三角形ＰＡＲとＰＣＲは、底辺をどちらもＰＲとすると、高さの比はＡＱ：ＱＣ＝４：５になるので、面積比は高さの比と同じくＰＡＲ：ＰＣＲ＝４：５になります。
さっきの問題で三角形ＰＡＲとＰＡＤの面積比が３：４になることが分かったので、次の図のように三角形ＰＡＲとＰＣＲの面積比と合わせて連比を求めると、ＰＡＤとＰＣＲの面積比は１６：１５と表せることが分かります。
三角形ＰＡＤの面積は１６、ＰＣＲの面積は１５なので、ＰＣＲの面積はＰＡＤの１５÷１６＝１６分の１５倍になります。
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