半径８ｍの３本の円形の道路が、次の図のようにそれぞれの中心を通るように交差しています。その交点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆとします。
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(１)
Ａ、Ｂ、Ｃを結んでできる三角形と、Ｄ、Ｅ、Ｆを結んでできる三角形の面積の比を、もっとも簡単な整数の比で答えなさい。
(２)
図の太い道路の部分の長さは何ｍですか。
(３)
ＡとＢ、ＡＢの真ん中の３地点に１本ずつ木を植えます。また、この３本と同じ間隔で太い道路と細い道路すべてに木を植えます。このとき、木は何本必要ですか。
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(１)
次の図の青い３本の直線は、どれも円の中心から円周上に伸びているので、３本とも円の半径であることが分かります。
したがって、青い三角形ＡＢＣは正三角形になります。
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次の図のオレンジ色の３本の直線はどれも円の直径で長さが等しいことから、三角形ＤＥＦも正三角形になります。
次の図を見れば分かるように、三角形ＡＢＣは小さい正三角形１個分、そして三角形ＤＥＦは小さい正三角形４個分でできています。
したがって、三角形ＡＢＣとＤＥＦの面積比は１：４になります。
(２)
次の図の青いおうぎ形ＣＡＦは、半径が８ｍで中心角は６０度(正三角形のひとつの内角)なので、孤ＡＦの長さは「８×２×３.１４×３６０分の６０」を計算すれば求められます。
また、上の図のオレンジ色の残り５本の孤の長さもＡＦと同じ長さなので、太い道路の長さの合計は８×２×３.１４×３６０分の６０×６＝５０.２４㎝になります。
※ 中心角６０度のおうぎ形が６個あると考えればＯＫなので、中心角の合計は６０×６＝３６０度、つまりちょうど円１個分の円周の長さと等しくなります。
(３)
次の図の孤ＡＢ間に木を３本植えるので、６０÷２＝３０度に１本の割合で木を植えていけばＯＫです。
したがって、下の図のオレンジ色の円周上には、全部で３６０÷３０＝１２本の木が植えられることになります。
上の図で円は３個あるので、木の本数は全部で１２×３＝３６本になります、と言いたいところですが、それで終わるとちょっとマズいです。
次の図を見れば分かるように、３つの円には重なっている場所が全部で６か所あるので、「１２×３＝３６本」だと、そこに植える木を２回ずつ数えてしまうことになります。
したがって、その重複した６か所の分を差し引くと、植える木の本数は全部で３６－６＝３０本になります。
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