08/31
Wed
2011
(１)
真上から見たときの７マスを次の図のようにア～キとすると、正面から見た図の左から２列目はイ、いちばん右端はエの個数を表しているので、イは立方体が１個だけ、そしてエは立方体が２個積み上げられています。
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次の「真上から見た図」のアは正面から見ればいちばん左、右側面から見ればいちばん右なので、アには立方体が５個積まれています。
また、真上から見た図のキは右側面から見ればいちばん左なので、キには立方体が３個積まれています。
次の「真上から見た図」のウとカは、正面から見た図だと立方体が３個積んであるので、
・ウとカは両方とも立方体が３個ずつ積んである
・ウとカのどちらかは立方体が３個積んであり、もう一方は１個または２個である
という２つの可能性が考えられます。
また、真上から見た図のオとカを右側面から見ると立方体が２個積んであるので、
・オとカは両方とも立方体が２個ずつ積んである
・オとカのどちらかは立方体が２個積んであり、もう一方は１個である
という２つの可能性が考えられます。
ただし、もしカに立方体が３個積んであると、右側面からオとカを見たときに立方体が３個あるはずなので、ウとカのうち、立方体が３個積まれているのはウであることが分かります。
また、立方体の数が最大となるのはオとカの立方体の数がどちらも２個ずつのとき、そして最小となるのはオまたはカのどちらかが１個、もう一方が２個のときです(次の図参照)。
つまり、立方体の数が最大となるときの個数は５＋１＋３＋２＋２＋２＋３＝１８個、そして最小となるのは１８－１＝１７個であることが分かります。
また、立方体１個あたりの体積は３×３×３＝２７㎤なので、考えられる立体の体積は、２７×１８＝４８６㎤と２７×１７＝４５９㎤の２通りです。
【補足】
カンタンに言うと、真上から見たときの図のオとカは「両方とも２個」あるいは「どちらかが２個、もう一方は１個」なので、考えられる２通りの立体の体積差は、立方体１個分になります。
(２)
立体の体積が最大であろうと最小であろうと、この立体を真上から、正面から、そして右側面から見た図が次のようになることに変わりはないので、
・真上と真下から見たときの表面積→１辺３㎝の正方形がそれぞれ７面ずつ
・正面と真後ろから見たときの表面積→１辺３㎝の正方形がそれぞれ１１面ずつ
・右側面と左側面から見たときの表面積→１辺３㎝の正方形がそれぞれ１０面ずつ
となります。
１辺３㎝の正方形の面積は３×３＝９㎠なので、この時点で分かった表面積の合計は、９×(７＋１１＋１０)×２＝５０４㎠です。
また、１８個の立方体を積み上げた立体を図に表すと次のようになりますが、この図のピンク色で表した２つの面は正面と真後ろのどちらから見ても死角になっているので、さっき計算した５０４㎠の中には含まれていません。
また、次の図の緑色で表した８つの面も、左右どちらから見ても死角に入っているので、さっき計算した５０４㎠には含まれていません。
つまり、この立体を「真正面と真後ろ」、「真上と真下」、「左側面と右側面」のすべての方向から見ても死角に入っている面が、全部で２＋８＝１０面あり、それらの面積は９×１０＝９０㎠です。
つまり、この立体を「真正面と真後ろ」、「真上と真下」、「左側面と右側面」のそれぞれから見たときの面積の合計は５０４㎠、それだと見えない死角の面積の合計が９０㎠なので、この立体の表面積は全部で５０４＋９０＝５９４㎠になります。
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