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上の図を見て、たての道の本数と行き方の数との関係にピンと来ましたか？
でもこの時点で規則性に気がついていなくても、５本程度なら次のように図で確認すればＯＫです。
上の図から、たての道を５本増やしたときの行き方は全部で２８通りになります。
(２)
たての道をどんどん増やして１５４０通りになるときを見つけるのはどう考えても大変そうなので、さっき確認したことを利用して「たての道の本数と行き方の数との規則性」を見つけてみます。
・たての道を１本増やす→たての道は両側もふくめて全部で３本→行き方は６通り
・たての道を２本増やす→たての道は両側もふくめて全部で４本→行き方は１０通り
・たての道を３本増やす→たての道は両側もふくめて全部で５本→行き方は１５通り
・たての道を４本増やす→たての道は両側もふくめて全部で６本→行き方は２１通り
・たての道を５本増やす→たての道は両側もふくめて全部で７本→行き方は２８通り
たとえばたての道が両側もふくめて３本あるとき、行き方は全部で１＋２＋３＝６通りになっています。
両側もふくめて４本のときは１＋２＋３＋４＝１０通り、５本のときは１＋２＋３＋４＋５＝１５通りになっていることからも分かるように、たての道が両側もふくめて□本あるとき、行き方は１から□までの数列の和と同じだけあります。
したがって、行き方が１５４０通りになるときの両側を含めたたての道の本数を□本とおくと、(１＋□)×□÷２＝１５４０という式に表せます。
このとき、(１＋□)×□の答えが１５４０×２＝３０８０なので、１ちがいの２つの数をかけ合わせて３０８０になる場合を探してみます。
※ 「５×６」とか「８×９」とか。見つけるのはそんなに難しくないです。
まず、ものすごく大ざっぱに言って、３０８０は「５０×５０＝２５００」と「６０×６０＝３６００」の間にあるので、１ちがいの２つの数の十の位には、どちらも「５」があてはまります。
それと、答えの一の位が「０」なので、１ちがいの一方の数には一の位に「０」または「５」があるはずです。
ただ、５０×５１は明らかに３０８０より小さいので、「０」ではなく「５」がある場合を考えてみます。
１ちがいの２つの数のどちらかが５５の場合、もう一方の数とのかけ算の組み合わせは「５４×５５」と「５５×５６」の２通りが考えられます。
このとき、５４×５５＝２９７０、５５×５６＝３０８０なので、あてはまるのは「５５×５６」だと分かります。
つまり、(１＋□)×□＝３０８０＝５６×５５になることが分かったので、□には５５があてはまります。
ただし、それは最初から両側にあるたての道もふくめた本数なので、増やした本数は５５－２＝５３本になります。
(３)
土地の数が上下２段で２１０のとき、土地は上段だけに２１０÷２＝１０５か所あります。
次の図を見れば分かるように、たての道が両側をふくめて３本のときは土地が２か所、４本のときは３か所、そして５本のときは４か所となっていることから、両側をふくめたたての道が□本あるとき、「□－１＝上段にある土地の数」という式ができます。
□－１＝１０５のとき、□は１０５＋１＝１０６となります。
つまり、たての道は両側をふくめて１０６本あるので、行き方は１から１０６までの和と等しくなります。
以上から、行き方は全部で(１＋１０６)×１０６÷２＝５６７１通りになります。
