１から８までの数字が１つずつ書かれた赤いカード８枚と、１から８までの数字が１つずつ書かれた青いカードが８枚あります。これら１６枚のカードから１枚カードを取り出し、続けてもう１枚カードを取り出し、左から順に並べます。並べたカードに書かれた２つの数の積を計算します。このとき、次の問いに答えなさい。
(１)
積の一の位の数字が１となるカードの並べ方は何通りありますか。
(２)
積の一の位の数字が２となるカードの並べ方は何通りありますか。
(３)
積の一の位の数字が４となるカードの並べ方は何通りありますか。
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(１)
２つの数の積の一の位が１となるのは、「１と１をかけ合わせた場合」と「３と７をかけ合わせた場合」の２通りです。
ここからは、「１と１」のように同じ数をかけ合わせる場合と「３と７」のように異なる数を組み合わせる場合でそれぞれ何通りの組み合わせが作れるのかを確認してみます。
【同じ数をかけ合わせる場合】
「１×１」のように同じ数をかけ合わせた場合、数字を入れ替えることはできませんが、カードの色の使い方は「青・赤」または「赤・青」の２通りが考えられます。
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したがって、「１と１」のように同じ数をかけ合わせる場合の組み合わせは、色の使い方によって２通りできます。
【異なる２つの数をかけ合わせる場合】
「３×７」のように異なる数をかけ合わせた場合、カードの色の選び方は「青・赤」、「赤・青」、「青・青」、「赤・赤」の４通りが考えられます。
また、２つの数字を入れ替えて「７×３」とした場合にも同じように４通りできるので、異なる２つの数を使う場合の組み合わせは、全部で４×２＝８通りできることが分かります。
つまり、「１と１」の組み合わせは２通り、「３と７」の組み合わせは８通りできるので、答えは全部で２＋８＝１０通りになります。
(２)
２つの数の積の一の位が２となる組み合わせを左の数が右よりも大きくならないように書き出してみると、「１と２」、「２と６」、「３と４」、「４と８」、「６と７」の５組になります。
さっきの問題で、異なる２つの数を使う場合の組み合わせは全部で８通りできることが分かりました。
つまり、これらの５組でそれぞれ８通りの組み合わせができるので、答えは５×８＝４０通りになります。
(３)
２つの数の積の一の位が４となる組み合わせを、左の数が右よりも大きくならないように書き出してみると、「１と４」、「２と２」、「２と７」、「３と８」、「４と６」、「８と８」の６組になります。
このうち、「２と２」や「８と８」のように同じ数をかけ合わせる組み合わせの場合、色の使い方によってそれぞれ２通りずつできます。
また、「１と４」、「２と７」、「３と８」、「４と６」の４組はどれも異なる２つの数を使う場合の組み合わせなので、それぞれ８通りずつできます。
つまり、２通り作れるものが２組と８通り作れるものが４組あるので、答えは全部で２×２＋８×４＝３６通りになります。
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