次の図のように、ある規則に従って数が並んでいます。このとき、次の問いに答えなさい。
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(１) １５組の３番目の数はいくつですか。
(２) 初めの数２から最初に出てくる１００までの、すべての数の和を求めなさい。
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(１)
まずは次の図を使って、各組の最初に来る数の規則性を確認しておくと、
・１組目の最初の数→１×２－１＝１なので、１番目の偶数である２から始まる。
・２組目の最初の数→２×２－１＝３なので、３番目の偶数である６から始まる。
・３組目の最初の数→３×２－１＝５なので、５番目の偶数である１０から始まる。
・４組目の最初の数→４×２－１＝７なので、７番目の偶数である１４から始まる。
となっていることから、□組目の最初に来る数は、□×２－１番目の偶数であることが分かります。
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したがって、１５組目の最初に来る数は、次の図のように１５×２－１＝２９番目の偶数になります。
また、その後はとなりに進むごとに２ずつ増えていくので、１５組目の３番目に来る数は「２９番目の偶数＋４」を計算すれば求められます。
２９番目の偶数は２×２９＝５８なので、答えは５８＋４＝６２になります。
(２)
初めて１００が出てくるのは、４つの数が次の図のように「９４・９６・９８・１００」のときです。
そのグループの最初の数である９４は、９４÷２＝４７番目の偶数なので、この４つの数のグループを□組とおくと、□×２－１＝４７という式ができます。
したがって、初めて１００が出てくるのは(４７＋１)÷２＝２４組目になります。
また、それぞれの組の４つの数の合計を求めてみると、
・１組目→２＋４＋６＋８＝２０
・２組目→６＋８＋１０＋１２＝３６
・３組目→１０＋１２＋１４＋１６＝５２
・４組目→１４＋１６＋１８＋２０＝６８
・２４組目→９４＋９６＋９８＋１００＝３８８
となっていることから、各組の４つの数の合計は１組目の２０から１６ずつ増えていくことが分かります。
つまりこの問題で求めたいのは、次の図のように「２０」から「３８８」までの同じ数ずつ増えていく２４個の等差数列の和なので、答えは(２０＋３８８)×２４÷２＝４８９６になります。
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