３をｎ回かけることを３＊ｎと表します。例えば、３＊１＝３、３＊２＝３×３、３＊３＝３×３×３です。また、整数Ｎの１の位の数を[Ｎ]で表します。例えば[５]＝５、[２７]＝７です。次の問いに答えなさい。
(１)
[３＊６]の値を求めなさい。
(２)
[[３＊３]×[３＊５]×[３＊７]]＝[３＊ｎ]を満たす、最も小さい整数ｎを求めなさい。
(３)
ｎを１から２０までの整数とします。[３＊１８]÷[３＊ｎ]＝３となる整数ｎは全部で何個ありますか。
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(１)
まずは３をどんどんかけ合わせたときに、答えの一の位がどのように変わっていくのかを確認してみると、次の図のように「３→９→７→１」の繰り返しになっていることが分かります。
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[３＊６]の値は３を６回かけ合わせたときの答えの一の位なので、上の図から「９」になります。
※ 答えを計算で求める場合は次のようになります。
６÷４＝１余り２なので、「３→９→７→１」が１組と「３→９」で終わります。
したがって、３を６回かけ合わせたときの答えの一の位は「９」になります。
(２)
まずは[３＊３]、[３＊５]、[３＊７]の値をそれぞれ確認してみます。
・[３＊３]・・・「３→９→７」の「７」
・[３＊５]・・・「３→９→７→１→３」の最後にある「３」
・[３＊７]・・・「３→９→７→１→３→９→７」の最後にある「７」
その３つの値を次の図の黄色い部分に当てはめて計算すると、[３＊３]×[３＊５]×[３＊７]の答えは７×３×７＝１４７になります。
次に[１４７]の値を求めてみると、１４７の一の位は「７」なので、[１４７]＝７となります。
そこで、さっきの図の[１４７]を７に書きかえて、ついでに＝の左右を入れ替えてみると、下の図のように[３＊ｎ]＝７となります。
つまり、求めたいのは３をかけ合わせたときの答えの一の位に初めて「７」が出てくるのはいつ？ということなのですが、それは「３×３×３＝２７」のときなので、ｎの最小値は「３」になります。
(３)
１８÷４＝４余り２なので、３を１８回かけ合わせたときの一の位は「３→９→７→１」が４回続いた後に「３→９」で終わります。
したがって、下の図の青い部分である[３＊１８]の値は「９」になります。
ついでに下の図の黄色い部分である[３＊ｎ]の値を□とおいてみると、式全体は９÷□＝３と書き直すことができるので、□には９÷３＝３があてはまります。
つまり、求めたいのは[３＊ｎ]の値が「３」になる場合です。
[３＊ｎ]のｎに１から２０までの整数をあてはめたとき、その値は「３→９→７→１」が２０÷４＝５回繰り返されます。
したがって、あてはまる整数ｎは全部で５個になります。
※ ｎに「１」「５」「９」「１３」「１７」をあてはめたとき。
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