忍者ブログ

気まぐれ解説カフェ(仮)

中学受験算数の入試問題を今日もゆるゆる解説中。算数プリントの無料ダウンロードは右横カテゴリ「プリントの無料ダウンロード」からどうぞ。

03/28

Thu

2024

×

[PR]上記の広告は3ヶ月以上新規記事投稿のないブログに表示されています。新しい記事を書く事で広告が消えます。

10/26

Tue

2010

頴明館2010【4】 ☆規則性・正三角形をピラミッド状に並べる☆

次の図1のような正三角形を積み重ねます。図2は2段積み重ねた状態、図3は3段積み重ねた状態です。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。

eim401.png





図2の2段の状態のとき、正三角形の数は4個(△が3個と▽が1個)、頂点の数は6個、辺の数は9本と数えるものとします。
 
3段以上積み重ねたときも正三角形の数、頂点の数、辺の数を同じように数えます。次の問いに答えなさい。
 
(1)
5段積み重ねたときの正三角形の数、頂点の数、辺の数はそれぞれいくつですか。
 
(2)
正三角形の数が289になるのは、正三角形を何段積み重ねたときですか。
 
(3)
頂点の数が105になるのは、正三角形を何段積み重ねたときですか。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!


(1)
まずは正三角形を1段、2段、3段積み重ねたときの図を使って、正三角形の数、頂点の数、辺の数などがどのように増えていくのかを確かめてみます。
 
【正三角形の数の増え方】
 
次の図を見れば分かるように、正三角形の数は1段のときは1個、2段のときは1+3=4個、3段のときは1+3+5=9個、・・・という感じで増えていきます。
 
このとき、正三角形を□段積んだときの正三角形の数は、1から□までの奇数の和になっていることが分かります。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。

eim402.png






【頂点の数の増え方】
 
次の図を見れば分かるように、頂点の数は1段のときは1+2=3個、2段のときは1+2+3=6個、3段のときは1+2+3+4=10個、・・・という感じで増えていきます。
 
このとき、正三角形を□段積んだときの頂点の数は、1から□+1までの整数の和になっていることが分かります。

eim403.png







【辺の数の増え方】
 
次の図を見れば分かるように、辺の数は1段のときは1×3=3本、2段のときは(1+2)×3=9本、3段のときは(1+2+3)×3=18本、・・・という感じで増えていきます。
 
このとき、正三角形を□段積んだときの辺の数は(1から□までの数の和)×3で求められることが分かります。

eim404.png







以上から、正三角形を5段積み重ねたときの正三角形の数は1+3+5+7+9=25個、頂点の数は1+2+3+4+5+6=21個、そして辺の数は(1+2+3+4+5)×3=45本になります。
 
 
(2)
正三角形を□段まで積み重ねたときの正三角形の数は、1から□までの奇数の和を計算すれば求められるので、1からどんどん奇数を足していって289になるときを見つけても答えは求められます。
 
しかし次の図を見れば分かるように、1から□までの奇数の和は□×□を計算すれば求められるので、同じ数をかけ合わせて289になるときを探してみると、17×17のときであることが分かります。

eim405.png





以上から、正三角形の数が289個になるのは17段積み重ねたときになります。
 
 
(3)
正三角形を□段積んだときの頂点の数は、1から□+1までの整数の和を計算すれば求められるので、その合計が105になるときを地道に求めてみます。
 
1から10までの整数の和は(1+10)×10÷2=55なので、さらにそこから整数を加えていくと、次の図のように14まで足したときであることが分かります。

eim406.png



以上から、頂点の数が105個になるのは正三角形を14段積み重ねたときになります。

PR

Comment

お名前
タイトル
E-MAIL
URL
コメント
パスワード

学校名で検索!

「フェリス」、「麻布」などの学校名を入力して検索すると該当記事の一覧が表示されます。 「該当なし」だったらごめんなさいm(_ _)m

最新記事

(12/18)
(12/17)
(12/16)
(12/15)
(12/14)
(12/13)
(12/12)
(12/11)
(12/10)
(12/09)
(12/08)
(12/07)
(12/06)
(12/05)
(12/04)
(12/03)
(12/02)
(12/01)
(11/30)
(11/29)

最新コメント

[11/07 ゆんたく]
[11/07 娘のママ]
[08/18 ゆんたく]
[08/18 NONAME]
[05/17 ゆんたく]
[05/16 グレートマジンガーZ]
[01/15 ゆんたく]
[01/14 NONAME]
[01/14 NONAME]
[01/14 NONAME]

プロフィール



HN:
ゆんたく
性別:
非公開
職業:
たびびと(Lv.4)
趣味:
チェロの演奏
自己紹介:
かつてゆんたくと呼ばれていたゆんたくです。

こんなゆんたくへ何か個人的に連絡したいことがおありでしたら、下記アドレスまでメールにてお願いいたします。

hassysar@gmail.com


カウンター





Copyright © 気まぐれ解説カフェ(仮) : All rights reserved

TemplateDesign by KARMA7

忍者ブログ [PR]