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2011

攻玉社2011【3】 ☆速さ・動く通路とグラフの読み取りについての問題☆


次の図は、ある駅の中の通路の一部分です。AB間は動く通路になっていて、A→Bの向きに一定の速さで床面が動いています。動く通路の間では立ち止まっていてもA→Bの向きに進み、A→Bの向きに歩いたときにはより速く進むことができます。逆向きに歩くと、進みが遅くなります。
 
※ 画像はすべて、クリックすると拡大します。


kogyo301.png


また、BC間は床面が動かない普通の通路になっています。それぞれの距離は、AB間が96m、BC間が72mです。たとえば、動く通路の速さが分速10mであるとして、普通の通路を歩く速さが分速70mである人がAB間を1往復するとき、A→Bと移動するのにかかる時間は( ア )、B→Aと移動するのにかかる時間は( イ )となります。
 
(1)
文章中の( ア )と( イ )にあてはまる時間を、「何分何秒」の形で求めなさい。
 
(2)
動く通路の速さが分速( ウ )mであるとして、太郎君が普通の通路を歩く速さは分速76m、次郎君が普通の通路を歩く速さは分速( エ )mであるとします。太郎君はA→B→Cの向きに、次郎君はC→B→Aの向きに、それぞれ同時に出発して歩きます。次のグラフは、2人の移動の様子を表したものです。


kogyo302.png









グラフのオとカは太郎君がAB間とBC間を移動するのにかかった時間で、これを比で表すと( オ ):( カ )=19:30になります。このとき、次の問いに答えなさい。
 

グラフの中に、補助線を引きました。これを利用して、次の比を求めなさい。
(太郎君がA→Bと移動する速さ):(太郎君がB→Cと移動する速さ)
 

( ウ )にあてはまる数字を求めなさい。
 

次の式の( キ )と( ク )にあてはまる1けたの整数をそれぞれ求めなさい。


kogyo303.png




太郎君と次郎君は、AC間のちょうど真ん中ですれちがいました。このことから、③の分数を利用して、( エ )にあてはまる数字を求めなさい。
 
 
※ 続きを見る場合は、下の「解説はこちらから」をクリック!




 

(1)
分速70mで歩く人が、AからBへ分速10mで動く通路の上を進むときの速さは、
 
・AからBへ歩く→流れに乗るので、70+10=分速80m
・BからAへ歩く→流れにさからうので、70-10=分速60m
 
になります(次の図参照)。


kogyo304.png












AB間は96mなので、分速80mで進むのにかかる時間は96÷80=1.2分=1分12秒、そして分速60mで進むのにかかる時間は96÷60=1.6分=1分36秒です。
 
したがって、アには1分12秒、イには1分36秒があてはまります。
 
 
(2)の①
問題文には「太郎君がA→Bと移動する速さ」と「太郎君がB→Cと移動する速さ」を求めろと書いてあるのですが、実際には
 
・太郎君がA→Bと移動する速さ・・・太郎君が「動く通路+歩き」で進むときの速さ
・太郎君がB→Cと移動する速さ・・・太郎君が「歩き」だけで進むときの速さ
 
のことなので、別にAB間とかBC間に強くこだわる必要はありません。
 
また、「なんでわざわざ変な補助線を書き込んでグラフをややこしくしちゃうの?」と思うかもしれませんが、その補助線のおかげで緑色の矢印の幅がどちらも96mになるので、
 
・それぞれの速さで同じ距離(96m)を進むのにかかる時間の比を求める
・それをひっくり返すと速さの比になる
 
という流れで、「動く通路+歩き」と「歩き」の速さの比を求めることが可能になります。
 
次のグラフのように、縦軸のDからまっすぐ右へ赤い補助線を引き、AB間とBD間の距離をどちらも96mにすると、グラフの青い部分は太郎君が「動く通路+歩き」で96m進んだ様子を、そして黄色い部分は「歩き」の速さで96m進んだ様子を表すことになります。


kogyo305.png









上のグラフのオには19カには30があてはまるので、太郎君が「動く通路+歩き」の速さでAB間の96mを進むのにかかる時間は19、そして「歩き」の速さでBC間の72mを進むのにかかる時間は30と表せます。
 
また、BD間の距離はBC間の96÷72=3分の4倍なので、BD間の96mを「歩き」の速さで進むのにかかる時間は30×3分の4=40となります。
 
つまり、太郎君が同じ距離(96m)を「動く通路+歩き」と「歩き」の速さで進むのにかかる時間の比は19:40なので、太郎君の「動く通路+歩き」と「歩き」の速さの比は40:19になります
 
 
(2)の②
さっきの問題で、太郎君の「動く通路+歩き」と「歩き」の速さの比は40:19と表せることが分かりました。
 
また、太郎君の歩く速さは分速76mなので、比の19が分速76m、そして比の1は76÷19=分速4mとなることが分かります。
 
つまり、太郎君の「動く通路+歩き」の速さは4×40=分速160mなので、動く通路の速さは160-76=分速84mになります。
 
 
(2)の③
「5分のキ」と「8分のク」を通分して分母を40にそろえるには、次の図のように
 
・「5分のキ」→分母と分子をそれぞれ8倍
・「8分のク」→分母と分子をそれぞれ5倍
 
すればOKです。


kogyo306.png





上の図の2つの分子「キ×8」と「ク×5」の合計は21になるのですが、キに3をあてはめた時点で3×8=24となり、21を超えてしまうので、キには1または2のどちらかがあてはまります。
 
仮にキ=1とすると、「キ×8」の答えは1×8=8なので、「ク×5」の答えは21-8=13となります。
 
ただそれだと40分の13を約分して分母を8にすることができないのでアウトです。
 
そこで、キに2をあてはめてみると、「キ×8」の答えは2×8=16なので、「ク×5」の答えは21-16=5となります。
 
それなら40分の5を約分して8分の1になるのでOKです。
 
したがって、キには2が、クには1があてはまります。
 
 
(2)の④
AC間の距離は96+72=168mなので、2人はその中間地点で出会うまでに、それぞれ168÷2=84mずつ進みました。
 
次の図のように、太郎君は中間地点までの84mをずっと動く通路の上を歩いて分速160mで進むので、中間地点まで進むのにかかる時間は84÷160=40分の21分間です。
 
また、2人はAとCを同時に出発したので、次郎君が中間地点まで進むのにかかる時間も40分の21分間です。


kogyo307.png






さて、この問題には「③の分数を利用して解け」というよく分からん条件指定があるのですが、上の図で太郎君と次郎君が出会うまでにかかった時間である「40分の21分間」は、③の分数の式である「5分の2+8分の1=40分の21」の答えと同じになっているので、たぶんその関連性を利用して解きなさい、という意味なんだろうなー、ぐらいの見当はつくと思います。
 
次郎君が歩く速さを分速□mとすると、CからBまでの72mを進むのにかかった時間は72÷□=□分の72分間と表せます。
 
また、Bから出会う地点までの84-72=12mは、動く通路の流れに逆らって分速(□-84)mで進むので、その12mを進むのにかかった時間は12÷(□-84)=(□-84)分の12分間と表せます。


kogyo308.png






「□分の72分間」と「(□-84)分の12分間」の合計は40分の21分間であり、40分の21=5分の2+8分の1なので、
 
・「□分の72」は5分の2と大きさが等しい
・「(□-84)分の12」は8分の1と大きさが等しい
 
ことが分かります(次の図参照)。


kogyo309.png





上の図の「□分の72」と「5分の2」は分子が72÷2=36倍の関係なので、分母の□には5×36=180があてはまります。
 
※ この時点で答えはもう出ました。
 
また、「(□-84)分の12」と「8分の1」は分子が12÷1=12倍の関係なので、分母の(□-84)は8×12=96となり、□には96+84=180があてはまります。
 
つまり、上の図のどちらで確かめても□には180があてはまるので、次郎君の歩く速さは分速180mになります。


 
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