何人かの中学生と何人かの小学生に鉛筆を配ることにしました。中学生に２本ずつ、小学生に４本ずつ配ると３６本余ります。中学生に３本ずつ、小学生に６本ずつ配ると３本足りません。また、中学生は小学生より３人多くいます。
(１)
小学生の人数は何人ですか。答えだけでなく、途中の考え方を示す式や図などもかきなさい。
(２)
鉛筆の本数は何本ですか。
(３)
すべての中学生に同じ本数ずつ、すべての小学生に同じ本数ずつ、鉛筆が余らないように配るには、中学生と小学生にそれぞれ何本ずつ配ればよいですか。答えは２通りあります。その２通りとも書きなさい。
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(１)
過不足算の公式を利用して解く問題なのですが、中学生と小学生が混ざっていてややこしいので、とりあえず３人多い中学生に鉛筆を返却させて人数をそろえることにします。
【中学生に２本、小学生に４本ずつ配るとき】
中学生と小学生を１人ずつペアにしていくと、次の図のように鉛筆は１組あたり２＋４＝６本ずつ配ることになります。
また、ペアを作れなかった３人の中学生から鉛筆を２本ずつ(全部で３×２＝６本)返してもらうと、問題文にある「鉛筆が３６本余る」状態は「鉛筆が３６＋６＝４２本余る」状態へと変わります。
つまり過不足算っぽく問題文を書き換えると、「中学生と小学生のペアに鉛筆を６本ずつ配ったら、鉛筆が４２本余りました」となります。
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【中学生に３本、小学生に６本ずつ配るとき】
さっきと同じように中学生と小学生を１人ずつペアにしていくと、次の図のように鉛筆は１組あたり３＋６＝９本ずつ配ることになります。
また、ペアを作れなかった３人の中学生から鉛筆を３本ずつ(全部で３×３＝９本)返してもらうと、問題文にある「鉛筆が３本足りない」状態は「鉛筆が９－３＝６本余る」状態へと変わります。
※ 鉛筆を３×３＝９本返してもらう→「３本不足」が「９－３＝６本余る」に変わる
こちらも過不足算っぽく問題文を書き換えると、「中学生と小学生のペアに鉛筆を９本ずつ配ったら、鉛筆が６本余りました」となります。
つまり、この問題は「６本ずつ配ると４２本余る」、「９本ずつ配ると６本余る」という２つの条件がある過不足算とみなすことができるので、(余り－余り)÷(配る数の差)＝(人数)という公式が利用できます。
以上から、中学生と小学生のペアは(４２－６)÷(９－６)＝１２組だと分かるので、小学生の人数も１２人になります。
(２)
中学生の人数はペアの数よりも３多いので、１２＋３＝１５人になります。
問題文にある「中学生に２本ずつ、小学生に４本ずつ配ると３６本余ります」という条件を使って鉛筆の本数を求めると、２×１５＋４×１２＋３６＝１１４本になります。
※ 中学生の人数なんて求めずに、さっきのペアのときの条件を使って６×１２＋４２＝１１４本と求めてももちろんＯＫです。
ただ、どうせ次の問題で中学生の人数が必要なので、この問題で先に確認しておきました。
(３)
中学生１人に配る本数を□本、小学生１人に配る本数を△本とおくと、中学生に配る鉛筆の合計は□×１５、そして小学生に配る鉛筆の本数は△×１２と表すことができます。
つまり、１５の倍数と１２の倍数の合計が１１４になるときを見つければＯＫなのですが、１５の倍数は一の位が「０」または「５」のどちらかにしかならないので、１１４の一の位にある「４」は１２の倍数で作ることになります。
１２の倍数の一の位に「４」が出てくるのは、「１２×２」と「１２×７」の２通りです。
小学生に２本ずつ配る場合、中学生に配る本数は１１４－２×１２＝９０本なので、中学生１人あたりに配る本数は９０÷１５＝６本になります。
また、小学生に７本ずつ配る場合、中学生に配る本数は１１４－７×１２＝３０本なので、中学生１人あたりに配る本数は３０÷１５＝２本になります。
以上から、中学生と小学生に配る鉛筆の本数の組み合わせは、(中・小)＝(６本・２本)と(中・小)＝(２本・７本)の２通りになります。
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